Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $\omega$ — описанная окружность. Прямые $BI$ и $CI$ пересекают ${{\omega }}$ соответственно в точках ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$, а прямая $B_1C_1$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $C_2$ и $B_2$, соответственно. Пусть ${{\omega }_{1}}$ — описанная окружность треугольника $I{{B}_{1}}{{C}_{1}}$, а прямые $IB_2$ и $IC_2$ пересекают $\omega_1$ в точках $M$ и $N$, соответственно. Докажите, что $B{{C}_{2}}\cdot {{B}_{2}}C={{B}_{2}}M\cdot {{C}_{2}}N$. ( Шалгымбай Б. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Поскольку $BB_1$ и $CC_1$ делят углы $B$ и $C$ пополам, то $\angle AC_1B_1 = \angle B_1C_1I = \angle B/2$ и $\angle AB_1C_1 = \angle C_1B_1I = \angle C/2$, откуда $\triangle AC_1B_1 = \triangle IC_1B_1$ (по стороне и двум прилежащим углам), т.е. точки $A$ и $I$ симметричны друг другу относительно прямой или, другими словами, $B_1C_1$ — серединный перпендикуляр отрезка $AI$.