Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс


В выпуклом четырёхугольнике ABCD справедливы следующие соотношения: AB=BC, AD=BD и ADB=2BDC. Известно, что ACD=100. Найдите ADC. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть точка C симметрична точке C относительно BD. Тогда BC=BC и CDB=BDC. Откуда из условия задачи следует, что BDC=CDA, то есть C лежит на биссектрисе угла BDA.

Значит, BC=AC, откуда ABC — правильный треугольник. Точки A, C и C лежат на одной окружности c радиусом AB и центром в точке B. Поэтому ACC=ABC/2=30. Следовательно, CCD=70, CDB=20 и CDA=3CDB=60.

пред. Правка 4   3
2 года 3 месяца назад #

Пусть треугольник DBE симметрично Треугольника DBA относительно отрезка DB. тогда DE=DB=DA и BE=BC=BA.

Пусть BDA=2α,CDB=CDE=α,DBA=90α,CAB=2α+10,CBA=1604α,DBC=703α,EBC=2α+20.

Заметим, что Треугольник CDE подобен на треугольника CDB по двум одинаковым сторонам и равным углом α.значит EC=CB но также EB=CB , из этого следует ECB равносторонный треугольник. EBC=2α+20=60α=20,ADC=3α=60.

  0
2 года назад #

давайте обозначим M через середину отрезка AB.Тогда скажем ADM=

=MDB=BDC=a тогда если AM=MB=x BC=2x а также

x=ysina если применить теорему синусов для BMD

также если применить теорему синусов для BCD то можно получить что

ysina=2xsin(2a+110) из этого следует что sin(2a+110)*2=1 откуда (2a+110)=

=150 a=20 3a=60 откуда ответ 60