Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс
Дано целое n≥1 и положительные действительные числа a1, a2, …, an.
Пусть s=a1+a2+…+an. Известно, что для каждого i=1, 2, …, n
выполняется неравенство ai2>iai+s. Докажите, что 2s>3n2.
(
Сатылханов К.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Из условия ai2>iai+s следует, что ai>i+sai, для каждого i=1, 2, …, n. Поэтому s=n∑i=1ai>n∑i=1(i+sai)=n∑i=1i+n∑i=1sai=n(n+1)2+n∑i=1ai⋅n∑i=11ai≥n(n+1)2+n2>3n22, откуда 2s>3n2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.