Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

Дано целое $n \geq 1$ и положительные действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$. Пусть $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$. Известно, что для каждого $i = 1,~2,~ \ldots,~n$ выполняется неравенство ${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$. Докажите, что $2s > 3{{n}^{2}}$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Из условия ${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$ следует, что $a_i>i+\dfrac{s}{a_i}$, для каждого $i = 1,~2,~ \ldots,~n$. Поэтому $$\displaylines { s = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} > \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {i + \frac{s}{{{a_i}}}} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n i + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{s}{{{a_i}}}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{a_i}}}} \geq \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + {n^2} > \frac{{3{n^2}}}{2},}$$ откуда $2s>3n^2$.

$1)n=1\rightarrow a_1^2>2a_1\longrightarrow 2a_1>4>3$

$2)n=2\rightarrow a_2^2>3a_2+a_1>9+2=11\longrightarrow 2a_1+2a_2>26>12=3\cdot 2^2$

$3)n\longmapsto n+1\longrightarrow s_1=a_1+a_2+...+a_{n+1}\longrightarrow 2s_1=2s(n+1)>3n^3+3n^2>3(n+1)^2$

$n^3>2n+1\Longleftrightarrow n^2>2+\dfrac{1}{n}>2+1=3 ⠀\blacksquare$