Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть xi=a2i+ai+1 для i=1, …, 2014 (an+1=a1). Заметим, что если для x, y, k∈N верно x2+y=k2, то k>x⇒k≥x+1, откуда y=k2−x2≥2x+1. Если ai≥1007, то ai+1≤2014<2ai+1, откуда a2i<a2i+ai+1<(ai+1)2, то есть xi не может быть точным квадратом. Значит, ответ к задаче не превосходит 1006. Далее покажем как построить пример для 1006 полных квадратов. Пусть A={1,…,2014}. Пусть a0=0, i=1,…,2014: ai={2ai−1+1, если ai−1≤1006,min(A∖{a1,…,ai−1}), если ai−1≥1007. Докажем, что {a1,…,a2014}=A. Пусть Xi={i | ai=2ai−1+1} и Y={i | ai=min(A∖{a1,…,ai−1})}, тогда X∩Y=∅ и X∪Y=A. Предположим, ∃ i∈Y, что ai нечетный. Пусть k=(ai−1)/2≤1006, если ∃ t≤i−1, что k=at, то at+1=2at+1=ai⟹i∈X, что невозможно. Тогда k≠at ∀ t≤i−1⟹k∈A∖{a1,…,ai−1} и k<ai, откуда ai=min(A∖{a1,…,ai−1})>k, что невозможно. Значит, ∀ i∈Y ai четное и ∀ i∈X ai=2ai−1+1 — нечетное. Отсюда следует, что ∀ i≠j и i,j∈Y⟹ ai≠aj (i<j, то aj=min(A∖{a1,…,aj−1})≠ai). Предположим, что ∃ i<j и i,j∈X такие, что ai=aj и среди них рассмотрим с минимальной суммой i+j. Тогда ai−1=ai/2=aj/2=aj−1 и i+j−2<i+j, что невозможно. Тогда ∀ i≠j и i,j∈X ai≠aj, то есть {a1,…,a2014}=A. К тому же, ∀ i∈X мы имеем ai=2ai−1+1 и a2i−1+ai=(ai−1+1)2, а так как |X|=1007 (все нечетные числа), у нас будет ровно 1006 полных квадратов (исключая 02+12=12).
пусть есть какой то x2+y=k2 знаем что k>x все числа натуральные тогда заметим что пусть у нас наименший k это k=x+1 если он больше то вариантов получится меньше т.к. у нас ограниченое число чисел и если мы возьмем еще больше то у нас будет еще меньше вариантов так что возьмем что это равно x2+y=(x+1)2 тогда (x+1)2=x2+2x+1 тогда у нас x2=x2,y=2x+1 заметим что 2x+1≤2014→x≤1006 откуда вариантов 1006 как максимум
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.