Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс


Пусть a1, a2, , a2014 — перестановка чисел 1, 2, , 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел a21+a2, a22+a3, , a22013+a2014, a22014+a1 могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть xi=a2i+ai+1 для i=1, , 2014 (an+1=a1). Заметим, что если для x, y, kN верно x2+y=k2, то k>xkx+1, откуда y=k2x22x+1. Если ai1007, то ai+12014<2ai+1, откуда a2i<a2i+ai+1<(ai+1)2, то есть xi не может быть точным квадратом. Значит, ответ к задаче не превосходит 1006. Далее покажем как построить пример для 1006 полных квадратов. Пусть A={1,,2014}. Пусть a0=0, i=1,,2014: ai={2ai1+1, если ai11006,min(A{a1,,ai1}), если ai11007. Докажем, что {a1,,a2014}=A. Пусть Xi={i | ai=2ai1+1} и Y={i | ai=min(A{a1,,ai1})}, тогда XY= и XY=A. Предположим,   iY, что ai нечетный. Пусть k=(ai1)/21006, если   ti1, что k=at, то at+1=2at+1=aiiX, что невозможно. Тогда kat  ti1kA{a1,,ai1} и k<ai, откуда ai=min(A{a1,,ai1})>k, что невозможно. Значит,   iY ai четное и   iX ai=2ai1+1 — нечетное. Отсюда следует, что   ij и i,jY aiaj (i<j, то aj=min(A{a1,,aj1})ai). Предположим, что   i<j и i,jX такие, что ai=aj и среди них рассмотрим с минимальной суммой i+j. Тогда ai1=ai/2=aj/2=aj1 и i+j2<i+j, что невозможно. Тогда   ij и i,jX aiaj, то есть {a1,,a2014}=A. К тому же,   iX мы имеем ai=2ai1+1 и a2i1+ai=(ai1+1)2, а так как |X|=1007 (все нечетные числа), у нас будет ровно 1006 полных квадратов (исключая 02+12=12).

  6
2 года 2 месяца назад #

пусть есть какой то x2+y=k2 знаем что k>x все числа натуральные тогда заметим что пусть у нас наименший k это k=x+1 если он больше то вариантов получится меньше т.к. у нас ограниченое число чисел и если мы возьмем еще больше то у нас будет еще меньше вариантов так что возьмем что это равно x2+y=(x+1)2 тогда (x+1)2=x2+2x+1 тогда у нас x2=x2,y=2x+1 заметим что 2x+12014x1006 откуда вариантов 1006 как максимум