Математикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$I$ нүктесі — оған іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$BI$ және

$CI$ түзулері

$\omega$ -ны сәйкесінше

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелерінде, ал

$B_1C_1$ түзуі

$AB$ және

$AC$ түзулерін сәйкесінше

$C_2$ және

$B_2$ нүктелерінде қияды.

$\omega_1$ —

$I{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын.

$IB_2$ және

$IC_2$ түзулері

$\omega_1$ -ді сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелерінде қисын. Олай болса

$B{{C}_{2}}\cdot {{B}_{2}}C={{B}_{2}}M \cdot {{C}_{2}}N$ теңдігін дәлелдеңдер. ( Шалгымбай Б. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2,

$\ldots$ , 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын.

$a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$ ,

$a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ ,

$a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$ ,

$a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Егер

$p, q, m, n$ натурал сандар және

$p$ мен

$q$ жай болса, онда

$\left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n}$ теңдігінің мүмкін емес екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5)

Есеп №4. Бүтін

$n \ge 1$ сан мен оң нақты

${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{n}}$ сандары берілген.

$s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ болсын. Әр

$i = 1, 2, \ldots, n$ үшін,

${{a}_{i}}^{2} > i{{a}_{i}}+s$ теңсіздігі орындалатыны белгілі.

$2s > 3{{n}^{2}}$ теңсіздігін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$AB=BC$ ,

$AD=BD$ және

$\angle ADB = 2 \angle BDC$ екені белгілі. Егер

$\angle ACD = 100^\circ$ болса, онда

$ADC$ бұрышын табындар. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Өлшемі

$2^n \times 2^n$ (

$n \ge 3$ ) болатын тақтадан бір шаршыны қиып алып тастаған. Қалған тақтаны үш шаршыдан құралған бұрыш фигуралармен толығымен жауып шығудың әдіс саны

$4^{3 \cdot 4^{n-3}}$ - тен кем емес екенін дәлелде. (Ешқандай бұрыштар бір-бірін жаппайды.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

результаты