қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $I$ нүктесі — оған іштей сызылған шеңбер центрі, ал $\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $BI$ және $CI$ түзулері $\omega$-ны сәйкесінше ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінде, ал $B_1C_1$ түзуі $AB$ және $AC$ түзулерін сәйкесінше $C_2$ және $B_2$ нүктелерінде қияды. $\omega_1$ — $I{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $IB_2$ және $IC_2$ түзулері $\omega_1$-ді сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде қисын. Олай болса $B{{C}_{2}}\cdot {{B}_{2}}C={{B}_{2}}M \cdot {{C}_{2}}N$ теңдігін дәлелдеңдер.
(
Шалгымбай Б.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. ${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2, $\ldots$, 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын. $a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$, $a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$, $\ldots$, $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$, $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Егер $p, q, m, n$ натурал сандар және $p$ мен $q$ жай болса, онда $ \left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n}$ теңдігінің мүмкін емес екенін дәлелдеңдер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №4. Бүтін $n \ge 1$ сан мен оң нақты ${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{n}}$ сандары берілген. $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ болсын. Әр $i = 1, 2, \ldots, n$ үшін, ${{a}_{i}}^{2} > i{{a}_{i}}+s$ теңсіздігі орындалатыны белгілі. $2s > 3{{n}^{2}}$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AB=BC$, $AD=BD$ және $\angle ADB = 2 \angle BDC$ екені белгілі. Егер $\angle ACD = 100^\circ$ болса, онда $ADC$ бұрышын табындар.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Өлшемі $2^n \times 2^n$ ($n \ge 3$) болатын тақтадан бір шаршыны қиып алып тастаған. Қалған тақтаны үш шаршыдан құралған бұрыш фигуралармен толығымен жауып шығудың әдіс саны $4^{3 \cdot 4^{n-3}}$- тен кем емес екенін дәлелде. (Ешқандай бұрыштар бір-бірін жаппайды.)
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)