Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс

Задача №1.  Определите все тройки натуральных чисел $(m, n, k)$ такие, что $(m^n - 1)$ делится на $k^m$ и $(n^m - 1)$ делится $k^n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность с центром $O$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а точки $A_1$ ($A\neq A_1$) и $B_1$ ($B\neq B_1$) на описанной окружности такие, что угол $\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и $\angle IB_1A=\angle IB_1C$. Докажите, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются на прямой $OI$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Последовательность $\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ определена следующим образом: $$a_1 = 1, ~{a_n} = \frac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \frac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \frac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}.$$ Докажите, что для всех натуральных чисел $n$ выполнено $a_{2n} < 2a_n$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, наибольшее целое число, не превосходящее $x$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $a$, $b$, $c$ принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  Дан треугольник $ABC$. Пусть вписанная в него окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Известно, что выполняется равенство $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$. Докажите, что отрезок $CC_1$ делится вписанной окружностью в отношении $1:2$ считая от вершины $C$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  Две черепахи одновременно выходят из точки с координатами $(0, 0)$ и на каждом шагу одновременно переходят на одну из целочисленных координат вверх или вправо (то есть из ${(x, y)}$ в ${(x+1,y)}$ или в ${(x,y+1)}$). Сколько существует способов им добраться до точки $(n, n)$, если последний раз они встречались только в точке $(0, 0)$? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

---