қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. $(m^n - 1)$ саны $k^m$ санына, $(n^m - 1)$ саны $k^n$ санына бөлінетіндей барлық $(m, n, k)$ натурал үштіктерін табыңдар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі $O$, ал оған іштей сызылған шеңбер центрі $I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан $\angle IA_1B=\angle IA_1C $ және $\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай $A_1$ $\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және $B_1$ $\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын. $AA_1$ және $BB_1$ түзулері $OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ тізбегі келесі жолмен анықталған:
$$a_1 = 1, ~{a_n} = \dfrac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \dfrac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \dfrac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}.$$
Кез келген натурал $n$ саны үшін, $a_{2n} < 2a_n$ екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде $[x]$ — $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $a$, $b$ және $c$ сандары $[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын. $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. $ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер $AB$, $BC$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_1$, $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанасын. $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса, $CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен $C$ төбесінен санағанда $1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Екі тасбақа бір уақытта координатасы $(0, 0)$ нүктеден шығып, әр жүрісте бір уақытта бір бүтін координатаға оңға немесе жоғары қарай жүреді (яғни $\left( {x,y} \right)$ нүктесінен $\left( {x + 1,y} \right)$ немесе $\left( {x,y+1} \right)$ нүктесіне). Егер тасбақалар соңғы рет $\left( {0,0} \right)$ нүктесінде кездескен болса, олар $\left( {n,n} \right)$ нүктесіне қанша әдіспен жете алады?
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)