Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

$(m^n - 1)$ саны

$k^m$ санына,

$(n^m - 1)$ саны

$k^n$ санына бөлінетіндей барлық

$(m, n, k)$ натурал үштіктерін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі

$O$ , ал оған іштей сызылған шеңбер центрі

$I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан

$\angle IA_1B=\angle IA_1C$ және

$\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай

$A_1$

$\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және

$B_1$

$\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын.

$AA_1$ және

$BB_1$ түзулері

$OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ тізбегі келесі жолмен анықталған:

$a_1 = 1, ~{a_n} = \dfrac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \dfrac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \dfrac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}.$ Кез келген натурал

$n$ саны үшін,

$a_{2n} < 2a_n$ екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде

$[x]$ —

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары

$[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын.

$|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер

$AB$ ,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_1$ ,

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанасын.

$1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса,

$CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен

$C$ төбесінен санағанда

$1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Екі тасбақа бір уақытта координатасы

$(0, 0)$ нүктеден шығып, әр жүрісте бір уақытта бір бүтін координатаға оңға немесе жоғары қарай жүреді (яғни

$\left( {x,y} \right)$ нүктесінен

$\left( {x + 1,y} \right)$ немесе

$\left( {x,y+1} \right)$ нүктесіне). Егер тасбақалар соңғы рет

$\left( {0,0} \right)$ нүктесінде кездескен болса, олар

$\left( {n,n} \right)$ нүктесіне қанша әдіспен жете алады? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

результаты