Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Мне кажется Вы не найдете таких $a,b,c$ для которых достигается значение 27. А вообще кажется, что ответ 19.

Пусть подмодульные выражения положительны, тогда выражение преобразуется в $S=\frac{(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2}{2}+3=\frac{L}{2}+3$

Положим без о.о что $a \geq b \geq c$

Или $(a,b,c)=(a,a-x,a-y)$ тогда

$L=x^2+y^2+(y-x)^2=2(x^2+y^2-xy)$ при $x,y \geq 0$ также $a+2 \geq x \geq a-2$ и $a+2 \geq y \geq a-2$

$\frac{L}{2}=x^2+y^2-xy=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}$ если рассмотреть как функцию при фиксированном $«y»$ то парабола, основание которой лежит в точке $(\frac{y}{2}, \frac{3y^2}{4})$

Рассмотрим так же функцию $f=x^2$ пусть так же $y_{1}, y_{2}$ числа из промежутка $y$ тогда подставляя их в выражение $\frac{L(y_1)}{2}=\frac{L(y_2)}{2}$ то $x=y_{1}+y_{2}$ так как $\frac{L}{2}$ будет располагаться всегда выше параболы $x^2$ при $y \ne 0$ то в точке пересечений , а именно в $x=y_{1}+y_{2}$ ветви будут располагаться всегда ниже ветвей $x^2$ а значит значения будут меньше, откуда следует что максимальные значение $\frac{L}{2}$ будут всегда достигаться в краевых точках для любых чисел из отрезка.

То есть в данном случае при $x=y=a+2$ подставляя $(a+2)^2$ то есть максимальное достигается в точке $a=2$ откуда $S=16+3=19$ достигается при к примеру $(2,-2,-2)$