Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Определим расположение точек A1,B1 проведем серединный перпендикуляр к стороне BC , пусть он пересекает окружность в точках E,R (E лежит в одной полуплоскости с точкой A) , тогда проведя прямую через точки E,I до пересечения с окружностью , однозначно определим точку A1 (так как EB=EC) , аналогично определим точку B1 для которой FQ диаметр и F лежит в одной полуплоскости с B. Заметим что точки A,I,R лежат на одной прямой , так как AI биссектриса угла и BR=RC , аналогично иB,I,Q , положим что AA1∩BB1∈H и B1R∩A1Q∈T тогда по теореме Паскаля для тройки точек A,B1,Q и B,A1,R точки H,I,T лежат на одной прямой , рассмотрим теперь другую тройку точек B1,E,Q и A1,F,R для них точки T,I,O лежат на одной прямой , значит точки H,I,T,O лежат на одной прямой , откуда H∈OI .
Возможно и другое доказательство , через теорему Чевы .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.