Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып


ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі O, ал оған іштей сызылған шеңбер центрі I болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан IA1B=IA1C және IB1A=IB1C болатындай A1 (AA1) және B1 (BB1) нүктелері алынсын. AA1 және BB1 түзулері OI түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
8 года 1 месяца назад #

Определим расположение точек A1,B1 проведем серединный перпендикуляр к стороне BC , пусть он пересекает окружность в точках E,R (E лежит в одной полуплоскости с точкой A) , тогда проведя прямую через точки E,I до пересечения с окружностью , однозначно определим точку A1 (так как EB=EC) , аналогично определим точку B1 для которой FQ диаметр и F лежит в одной полуплоскости с B. Заметим что точки A,I,R лежат на одной прямой , так как AI биссектриса угла и BR=RC , аналогично иB,I,Q , положим что AA1BB1H и B1RA1QT тогда по теореме Паскаля для тройки точек A,B1,Q и B,A1,R точки H,I,T лежат на одной прямой , рассмотрим теперь другую тройку точек B1,E,Q и A1,F,R для них точки T,I,O лежат на одной прямой , значит точки H,I,T,O лежат на одной прямой , откуда HOI .

Возможно и другое доказательство , через теорему Чевы .