Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Докажите неравенство $ab + bc + ac \geq 2(a + b + c)$ для положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$ если известно, что $a + b + c + 2 = abc$. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Равенство заданное в условии эквивалентна равенству $$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$$

Пусть $\frac{1}{a+1} =x, \frac{1}{b+1}=y,\frac{1}{c+1}=z$. Тогда $a=\frac{1-x}{x}=\frac{y+z}{x}$.

Таким образом числа $a,b,c$ заменяются на числа $\frac{x+y}{z},\frac{y+z}{x}, \frac{z+x}{y}$.

Заменяя этими числами в неравенстве

$$ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)$$

сокращая

получаем неравенство Шура

$$x^3+y^3+z^3+ 3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$