Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2017 год

Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ взята точка $K$, а на стороне $AC$ взята точка $L$ таким образом, что $\angle ACB+\angle AKL=50{}^\circ$ и $\angle ABC+\angle ALK=70{}^\circ$. Чему может равняться угол $BAC$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Суммы внутренних углов треугольников $ABC$ и $AKL$ равны $180{}^\circ$. То есть, сумма этих сумм равна $360{}^\circ$. Следовательно, $$\left( \angle BAC+\angle ABC+\angle ALK \right)+\left( \angle BAC+\angle ACB+\angle AKL \right)=360{}^\circ \Leftrightarrow$$ $$2\angle BAC+\left( \angle ACB+\angle AKL \right)+\left( \angle ABC+\angle ALK \right)=360{}^\circ \Leftrightarrow$$ $$2\angle BAC+50{}^\circ +70{}^\circ =360{}^\circ \Leftrightarrow \angle BAC=120{}^\circ .$$

обозначим $\angle$ ACB=a, $\angle$ AKL=б, $\angle$ ALK=в, $\angle$ ABC=г.

а+б=$50^\circ$,б=50-а, из этого следует, что $\angle$ LKB=180-б=180-50+а=$130+а^\circ$.

в+г=$70^\circ$, в=70-г, следовательно, $\angle$KLC=180-в=180-70+г=$110+г^\circ$.

Теперь рассмотрим четырехугольник KLCB. 130+а+110+г+г+а=$360^\circ$. 2а+2г=120, а+г=60. А в треугольнике ABC а+г+ $\angle$BAC=$180^\circ$=60+$\angle$BAC=180, из этого следует, что $\angle$BAC=$120^\circ$