қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2017 год
Задача №1. Решите систему уравнений: $\left\{ \begin{array}{l}
xy = {\rm{930}},\\
yz = {\rm{992}},\\
xz = {\rm{960}}.
\end{array} \right.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ взята точка $K$, а на стороне $AC$ взята точка $L$ таким образом, что $\angle ACB+\angle AKL=50{}^\circ $ и $\angle ABC+\angle ALK=70{}^\circ $. Чему может равняться угол $BAC$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Ученик записал на доске некоторое трёхзначное число, все цифры которого различны. Затем он записал другое трёхзначное число, которое получается из ранее записанного некоторой перестановкой цифр, причем ни одна цифра не осталась на своём месте. Сумма двух этих чисел оказалась равна 1712. Найдите цифры, из которых состоят эти два числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дан квадрат $5\times 5$, все клетки которого белые. За один ход разрешается изменить цвет у двух подряд стоящих в столбце или в строке клеток на противоположный (если клетка белая, она становится черной, а если черная — белой).
а) Можно ли с помощью таких ходов из белого квадрата получить квадрат, клетки которого окрашены в шахматном порядке?
б) Если такой квадрат получить можно, то за какое наименьшее число ходов?
комментарий/решение(1)
а) Можно ли с помощью таких ходов из белого квадрата получить квадрат, клетки которого окрашены в шахматном порядке?
б) Если такой квадрат получить можно, то за какое наименьшее число ходов?
комментарий/решение(1)
Задача №5. В коробке лежат разноцветные шары. Каждый из них окрашен только в один из цветов. Известно, что какие бы 2016 шаров из коробки ни взяли, среди них найдутся шары одного цвета, а какие бы 2017 шаров из коробки ни взяли, среди них шаров одного цвета будет не более трех. Какое наибольшее количество шаров может лежат в коробке?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На доске написан квадратный трехчлен ${{x}^{2}}+kx+m$. Сколько существует пар $\left( k,m \right)$ таких, что $k < 2017$, $m < 2017$ и данный трехчлен является квадратом многочлена с целыми коэффициентами?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ на катетах $AC$ и $BC$ взяты соответственно точки $K$ и $L$ так, что $AK/KC=4/1$ и $CL/BL=3/2$. Пусть $KML$ также равнобедренный прямоугольный треугольник, а $O$ — середина его гипотенузы $MK$. Докажите, что точка $O$ лежит на внешней или на внутренней биссектрисе угла $ACB$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №8. Можно ли натуральные числа от 1 до 2017 расположить в ряд так, чтобы сумма любых четырех из них, стоящих через одно (например, первого, третьего, пятого и седьмого или второго, четвертого, шестого и восьмого), делилась на 7?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)