Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2017 год

Можно ли натуральные числа от 1 до 2017 расположить в ряд так, чтобы сумма любых четырех из них, стоящих через одно (например, первого, третьего, пятого и седьмого или второго, четвертого, шестого и восьмого), делилась на 7?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: нет, нельзя.
Решение. Предположим, что числа расположены так, как требуется в условии задачи. Рассмотрим фрагмент полученного ряда: \[\ldots *a*b*c*d*e*\ldots \] Здесь символом $*$ обозначены некоторые (неважные в данном рассуждении) числа. Так как числа $a,b,c$ и $d$ стоят через одно число, то, согласно условию, сумма $a+b+c+d$ делится на 7. Но числа $b,c,d$ и $e$ также стоят через одно число. Поэтому и сумма $b+c+d+e$ также делится на 7. Тогда $\left( a+b+c+d \right)-\left( b+c+d+e \right)$ делится на 7, т.е. разность $a-e$ делится на 7. А это равносильно тому, что $a$ и $e$ имеют одинаковые остатки при делении на 7.
Число $e$ расположено через семь – на восьмом месте после числа $a$. Стало быть, остатки чисел при делении на 7 в рассматриваемом ряду повторяются с периодом 8. Разобьём все числа на группы по 8 подряд идущих чисел (252 группы; $2017=8\cdot 252+1$) и ещё одну неполную группу из 1 последнего числа.
Так как в каждой полной группе восемь чисел, а количество различных остатков при делении на 7 (включая и 0) равно 7, то, скажем, уже в первой группе какой-то из остатков будет встречаться по крайней мере у двух чисел.
Ясно, что этот же остаток будет повторяться хотя бы дважды и в любой из остальных групп; при этом в каждой из групп соответствующие два числа будут стоять на тех же по счёту местах, что и в первой. Но тогда всего этот остаток будут иметь не менее чем $252\cdot 2=504$ числа.
Однако, поскольку $2017=7\cdot 288+1$, не более 289 из данных чисел имеют один и тот же остаток при делении на 7. Противоречие.
Следовательно, расположить числа так, как требуется в условии задачи, нельзя.