Processing math: 100%

Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 7 сынып, 2017 жыл


1-ден 2017-ге дейінгі натурал сандарды, көршілес тақ немесе жұп орындағы кез келген төрт санның қосындысы (мысалы, бірінші, үшінші, бесінші және жетінші немесе екінші, төртінші, алтыншы және сегізінші) 7-ге бөлінетіндей етіп бір қатарға орналастыруға болады ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: нет, нельзя.
Решение. Предположим, что числа расположены так, как требуется в условии задачи. Рассмотрим фрагмент полученного ряда: abcde Здесь символом обозначены некоторые (неважные в данном рассуждении) числа. Так как числа a,b,c и d стоят через одно число, то, согласно условию, сумма a+b+c+d делится на 7. Но числа b,c,d и e также стоят через одно число. Поэтому и сумма b+c+d+e также делится на 7. Тогда (a+b+c+d)(b+c+d+e) делится на 7, т.е. разность ae делится на 7. А это равносильно тому, что a и e имеют одинаковые остатки при делении на 7.
Число e расположено через семь – на восьмом месте после числа a. Стало быть, остатки чисел при делении на 7 в рассматриваемом ряду повторяются с периодом 8. Разобьём все числа на группы по 8 подряд идущих чисел (252 группы; 2017=8252+1) и ещё одну неполную группу из 1 последнего числа.
Так как в каждой полной группе восемь чисел, а количество различных остатков при делении на 7 (включая и 0) равно 7, то, скажем, уже в первой группе какой-то из остатков будет встречаться по крайней мере у двух чисел.
Ясно, что этот же остаток будет повторяться хотя бы дважды и в любой из остальных групп; при этом в каждой из групп соответствующие два числа будут стоять на тех же по счёту местах, что и в первой. Но тогда всего этот остаток будут иметь не менее чем 2522=504 числа.
Однако, поскольку 2017=7288+1, не более 289 из данных чисел имеют один и тот же остаток при делении на 7. Противоречие.
Следовательно, расположить числа так, как требуется в условии задачи, нельзя.