Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2017 год

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ на катетах $AC$ и $BC$ взяты соответственно точки $K$ и $L$ так, что $AK/KC=4/1$ и $CL/BL=3/2$. Пусть $KML$ также равнобедренный прямоугольный треугольник, а $O$ — середина его гипотенузы $MK$. Докажите, что точка $O$ лежит на внешней или на внутренней биссектрисе угла $ACB$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$$\triangle ABC: \angle BCA =90^o , BC=AC=5x$$

$$\triangle CLK: \angle LCK = 90^o, LC=3CK=3x \Rightarrow$$ $$\Rightarrow LK=\sqrt {(LC)^2+(CK)^2}=\sqrt {(3x)^2+(x)^2}=x \sqrt{10}$$

$$\triangle MLK: \angle MLK = 90^o, ML=LK=x \sqrt{10}$$

$$MR \bot CB \Rightarrow \triangle MRL$$

$$\angle CLK= \alpha \Rightarrow \angle MLR= 90^o-\alpha \Rightarrow \triangle MRL \equiv \triangle CLK$$

$$C=\left\{ 0,0 \right\}, K=\left\{ x,0 \right\}, M=\left\{ 4x,4x \right\} \Rightarrow O=\left\{ 2x,2x \right\}$$

$$O \in CC' \Rightarrow \cos(\angle OSK)= \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\overrightarrow{OC}=\left\{ 2x,2x \right\}, \overrightarrow{CK}=\left\{ x,0 \right\} \Rightarrow \cos(\angle OSK)=\frac{\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{CK}}{ | \overrightarrow{OC}| \cdot | \overrightarrow{CK}|}=\frac{2x^2}{2\sqrt{2}x^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Вряд ли 7-классы знают то, через чего Вы решили задачу. Есть другое решение?

KLM - равнобедренный => KOL=90° => CKОL - вписанный.

KLM - прямоугольный => ОK=ОL

=> О - середина дуги KL окружности описанной около треугольника КСL

=> О лежит на биссектрисе угла АСВ (если О лежит на большей дуге КL, то на внешней биссектрисе, если на меньшей, то на внутренней)