Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 7 сынып, 2017 жыл

Тікбұрышты теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышының $AC$ және $BC$ катеттерінен $AK/KC=4/1$ және $CL/BL=3/2$ болатындай сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелері алынған. $KML$ үшбұрышы да тікбұрышты теңбүйірлі болсын, ал $O$ оның $MK$ гипотенузасының ортасы болсын. Онда, $O$ нүктесі $ACB$ бұрышының сыртқы бұрышының немесе ішкі бұрышының биссектрисасында жататынын дәлелде. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$$\triangle ABC: \angle BCA =90^o , BC=AC=5x$$

$$\triangle CLK: \angle LCK = 90^o, LC=3CK=3x \Rightarrow $$ $$\Rightarrow LK=\sqrt {(LC)^2+(CK)^2}=\sqrt {(3x)^2+(x)^2}=x \sqrt{10}$$

$$\triangle MLK: \angle MLK = 90^o, ML=LK=x \sqrt{10}$$

$$MR \bot CB \Rightarrow \triangle MRL$$

$$\angle CLK= \alpha \Rightarrow \angle MLR= 90^o-\alpha \Rightarrow \triangle MRL \equiv \triangle CLK $$

$$C=\left\{ 0,0 \right\}, K=\left\{ x,0 \right\}, M=\left\{ 4x,4x \right\} \Rightarrow O=\left\{ 2x,2x \right\}$$

$$ O \in CC' \Rightarrow \cos(\angle OSK)= \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$ \overrightarrow{OC}=\left\{ 2x,2x \right\}, \overrightarrow{CK}=\left\{ x,0 \right\} \Rightarrow \cos(\angle OSK)=\frac{\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{CK}}{ | \overrightarrow{OC}| \cdot | \overrightarrow{CK}|}=\frac{2x^2}{2\sqrt{2}x^2}=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

Вряд ли 7-классы знают то, через чего Вы решили задачу. Есть другое решение?

KLM - равнобедренный => KOL=90° => CKОL - вписанный.

KLM - прямоугольный => ОK=ОL

=> О - середина дуги KL окружности описанной около треугольника КСL

=> О лежит на биссектрисе угла АСВ (если О лежит на большей дуге КL, то на внешней биссектрисе, если на меньшей, то на внутренней)