Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 7 сынып, 2017 жыл

Есеп №1. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

$\left\{ \begin{array}{l} xy = {\rm{930}},\\ yz = {\rm{992}},\\ xz = {\rm{960}}{\rm{.}} \end{array} \right.$
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle ACB+\angle AKL=50{}^\circ$ және

$\angle ABC+\angle ALK=70{}^\circ$ болатындай

$AB$ қабырғасынан

$K$ нүктесі, ал

$AC$ қабырғасынан

$L$ нүктесі алынған.

$BAC$ бұрышының өлшемі қанша бола алады? ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Оқушы тақтаға цифрлары әртүрлі болатын үш таңбалы сан жазды. Содан соң осы санның цифрларына әр бір цифр өз орнында қалмайтындай орын алмастыру жасап екінші үш таңбалы санды жазды. Сонда тақтадағы жазылған екі санның қосындысы 1712 болды. Бастапқыда жазылған сан қандай цифрлардан құралған?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Барлық клеткасы ақ түсті

$5\times 5$ шаршы берілген. Әр жүрісте баған немесе жол бойынша көршілес тұрған екі клетканың түсін қарама-қарсы түске ауыстыруға болады (егер клетка ақ болса, ол қара түске, ал қара болса, ақ түске ауысады).
а) Осындай жүрістер арқылы берілген ақ түсті шаршының клеткаларын шахмат тәртібімен бояп шығуға болама?
б) Егер а)-да айтылғандай бояуға болатын болса, ең аз дегенде неше жүріс керек?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Қорапта түрлі түсті шарлар бар. Олардың әрқайсысы тек бір ғана түске боялған. Қораптан қандай болмасын 2016 шар алмасақ та, олардың арасынан түсі бірдей болатын екі шар табылады, ал қандай болмасын 2017 шар алмасақ та, бірдей түсті шарлар саны үштен аспайды. Қорапта ең көп дегенде қанша шар болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Тақтада

${{x}^{2}}+kx+m$ квадрат үшмүшелік жазылған.

$k < 2017$ ,

$m < 2017$ және берілген үшмүшелік толық квадрат болатындай

$\left( k,m \right)$ жұптарының саны қанша?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Тікбұрышты теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышының

$AC$ және

$BC$ катеттерінен

$AK/KC=4/1$ және

$CL/BL=3/2$ болатындай сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелері алынған.

$KML$ үшбұрышы да тікбұрышты теңбүйірлі болсын, ал

$O$ оның

$MK$ гипотенузасының ортасы болсын. Онда,

$O$ нүктесі

$ACB$ бұрышының сыртқы бұрышының немесе ішкі бұрышының биссектрисасында жататынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №8. 1-ден 2017-ге дейінгі натурал сандарды, көршілес тақ немесе жұп орындағы кез келген төрт санның қосындысы (мысалы, бірінші, үшінші, бесінші және жетінші немесе екінші, төртінші, алтыншы және сегізінші) 7-ге бөлінетіндей етіп бір қатарға орналастыруға болады ма?
комментарий/решение(1)