Processing math: 100%

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год


На отрезке BC треугольника ABC отмечена точка M. Пусть I, K, L — соответственно центры вписанных окружностей ω1, ω2, ω3 треугольников ABC, ABM, ACM. Общая внешняя касательная к окружностям ω2 и ω3, отличная от прямой BC, пересекает отрезок AM в точке J. Известно, что точки I и J не совпадают и лежат внутри AKL. Докажите, что в треугольнике AKL точки I и J изогонально сопряжены. (Внутренние точки P и P треугольника ABC называются изогонально сопряжёнными, если ABP=CBP, BAP=CAP, BCP=ACP.) ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
5 года 3 месяца назад #

Из тригонометрической формы теоремы Чевы, задачи сводится к тому, чтобы "проверить" только два угла, чтобы получить изогональную сопряжённость.

Докажем, что KAJ=LAI,AKI=LKJ.

Обозначим угол как α=BAK=KAM, β=MAL=LAC. Тогда легко понять, что

KAJ=α=(α+β)β=IACLAC=LAI

Заметим, что KMML,JKJL как биссектрисы смежных углов. Значит, KJLM вписанный, так как KML=KJL=90. Тогда, AKI=α+ABC2=AMC2=AML=JML=LKJ