Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год

На отрезке $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Пусть $I$, $K$, $L$ — соответственно центры вписанных окружностей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ треугольников $ABC$, $ABM$, $ACM$. Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_2$ и $\omega_3$, отличная от прямой $BC$, пересекает отрезок $AM$ в точке $J$. Известно, что точки $I$ и $J$ не совпадают и лежат внутри $\triangle AKL$. Докажите, что в треугольнике $AKL$ точки $I$ и $J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки $P$ и $P'$ треугольника $ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если $\angle ABP=\angle CBP'$, $\angle BAP = \angle CAP'$, $\angle BCP=\angle ACP'$.) ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Из тригонометрической формы теоремы Чевы, задачи сводится к тому, чтобы "проверить" только два угла, чтобы получить изогональную сопряжённость.

Докажем, что $$\angle KAJ = \angle LAI, \qquad \angle AKI = \angle LKJ.$$

Обозначим угол как $\alpha = \angle BAK = \angle KAM$, $\beta = \angle MAL = \angle LAC$. Тогда легко понять, что

$$ \angle KAJ = \alpha = (\alpha+\beta) - \beta = \angle IAC - \angle LAC = \angle LAI$$

Заметим, что $KM \perp ML, JK \perp JL$ как биссектрисы смежных углов. Значит, $KJLM$ вписанный, так как $\angle KML = \angle KJL = 90^{\circ}$. Тогда, $$\angle AKI = \alpha + \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\angle AMC}{2} = \angle AML= \angle JML =\angle LKJ$$