Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год
На отрезке BC треугольника ABC отмечена точка M. Пусть I, K, L — соответственно центры вписанных окружностей ω1, ω2, ω3 треугольников ABC, ABM, ACM. Общая внешняя касательная к окружностям ω2 и ω3, отличная от прямой BC, пересекает отрезок AM в точке J. Известно, что точки I и J не совпадают и лежат внутри △AKL. Докажите, что в треугольнике AKL точки I и J изогонально сопряжены. (Внутренние точки P и P′ треугольника ABC называются изогонально сопряжёнными, если
∠ABP=∠CBP′,
∠BAP=∠CAP′,
∠BCP=∠ACP′.)
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из тригонометрической формы теоремы Чевы, задачи сводится к тому, чтобы "проверить" только два угла, чтобы получить изогональную сопряжённость.
Докажем, что ∠KAJ=∠LAI,∠AKI=∠LKJ.
Обозначим угол как α=∠BAK=∠KAM, β=∠MAL=∠LAC. Тогда легко понять, что
∠KAJ=α=(α+β)−β=∠IAC−∠LAC=∠LAI
Заметим, что KM⊥ML,JK⊥JL как биссектрисы смежных углов. Значит, KJLM вписанный, так как ∠KML=∠KJL=90∘. Тогда, ∠AKI=α+∠ABC2=∠AMC2=∠AML=∠JML=∠LKJ
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.