Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год

Задача №1. Пусть

$f(x)=x^3-3x[x]\{x\}$ .
а) Существует ли такое число

$x_0$ , что

$f(x_0)=199,\!9$ ?
б) Существует ли такое число

$x_0$ , что

$f(x_0)=1,\!999$ ?
Здесь

$[x]$ обозначает целую часть числа

$x$ , т. е. наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ , а

$\{x\}=x-[x]$ .
комментарий/решение(5)

Задача №2. Дана клетчатая доска размера

$2019 \times 2019$ . В каждой клетке 2-ой строки стоит по одной белой фишке, а в каждой клетке 2018-ой строки — по одной черной. Двое играют в следующую игру: первый ходит белыми фишками, а второй — черными. За один ход можно передвинуть фишку на любое количество клеток по столбцу (разрешается передвигать фишку как вверх, так и вниз) так, чтобы фишка не вышла за пределы доски, и не перепрыгнула через фишку противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Может ли кто-нибудь из игроков гарантировать себе победу, и если да, то кто? (Игру начитает первый игрок, а далее ходят по очереди.) ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение

Задача №3. Решите уравнение в целых неотрицательных числах:

$x^4+4y^3+5=y^6-6x^2.$ ( Исахов А. )
комментарий/решение(3)

Задача №4. На отрезке

$BC$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$M$ . Пусть

$I$ ,

$K$ ,

$L$ — соответственно центры вписанных окружностей

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ ,

$\omega_3$ треугольников

$ABC$ ,

$ABM$ ,

$ACM$ . Общая внешняя касательная к окружностям

$\omega_2$ и

$\omega_3$ , отличная от прямой

$BC$ , пересекает отрезок

$AM$ в точке

$J$ . Известно, что точки

$I$ и

$J$ не совпадают и лежат внутри

$\triangle AKL$ . Докажите, что в треугольнике

$AKL$ точки

$I$ и

$J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки

$P$ и

$P'$ треугольника

$ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если

$\angle ABP=\angle CBP'$ ,

$\angle BAP = \angle CAP'$ ,

$\angle BCP=\angle ACP'$ .) ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)