Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год
Комментарий/решение:
По условию, x4+6x2+5=y6−4y3.
Пусть, a=x2+1,b=y3−4. Тогда
a(a+4)=(x2+1)(x2+5)=x4+6x2+5=y6−4y3=y3(y3−4)=b(b+4).
БОО a>b, тогда a+4>b+4, значит a(a+4)>b(b+4). Противоречие. Тогда a=b.
Значит, x2+1=y3−4 или
x2+22=y3−1=(y−1)(y2+y+1)
Если, y≡0(mod2), x2≡−1(mod4). Противоречие.
Тогда пусть, y=2k+1 и понятно, что x≡0(mod2) и 4|x2+4.
4|x2+4=2k((2k+1)2+2k+1+1)=2k(4k2+6k+3)
Так как, 4k2+6k+3≡1(mod2), а значит 2|k. Но тогда, 4k2+6k+3≡3(mod4), а число вида x2+22, не может иметь делитель p≡3(mod4) из теоремы Ферма — Эйлера.
Решение: x4+4y3+5=y6−6x2⟺x4+6x2−(y6−4y3−5)=0⟺(x2−y3+5)(x2+y3+1)=0
Случай 1.y3+1=−x2 Одно решение очевидное: x=0,y=−1. Более того, легко заметить, что y3+1 не может принимать других положительных значений, поскольку −x2 отрицательно. Запишем наше уравнение в виде:
y3+1=(y+1)(y2−y+1)=(y+1)2(y−2+3y+1)=−x2
Далее, выражение 3y+1 будет целым только при y=−2 или y=−4. Но, при этих значениях число x не является целым числом.
Случай 2.x2=y3−5
....
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.