Processing math: 100%

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год


Решите уравнение в целых неотрицательных числах: x4+4y3+5=y66x2. ( Исахов А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 3 месяца назад #

По условию, x4+6x2+5=y64y3.

Пусть, a=x2+1,b=y34. Тогда

a(a+4)=(x2+1)(x2+5)=x4+6x2+5=y64y3=y3(y34)=b(b+4).

БОО a>b, тогда a+4>b+4, значит a(a+4)>b(b+4). Противоречие. Тогда a=b.

Значит, x2+1=y34 или

x2+22=y31=(y1)(y2+y+1)

Если, y0(mod2), x21(mod4). Противоречие.

Тогда пусть, y=2k+1 и понятно, что x0(mod2) и 4|x2+4.

4|x2+4=2k((2k+1)2+2k+1+1)=2k(4k2+6k+3)

Так как, 4k2+6k+31(mod2), а значит 2|k. Но тогда, 4k2+6k+33(mod4), а число вида x2+22, не может иметь делитель p3(mod4) из теоремы Ферма — Эйлера.

  0
5 года 2 месяца назад #

Решение: x4+4y3+5=y66x2x4+6x2(y64y35)=0(x2y3+5)(x2+y3+1)=0

Случай 1.y3+1=x2 Одно решение очевидное: x=0,y=1. Более того, легко заметить, что y3+1 не может принимать других положительных значений, поскольку x2 отрицательно. Запишем наше уравнение в виде:

y3+1=(y+1)(y2y+1)=(y+1)2(y2+3y+1)=x2

Далее, выражение 3y+1 будет целым только при y=2 или y=4. Но, при этих значениях число x не является целым числом.

Случай 2.x2=y35

....

  7
2 года назад #

у нас неотрицательные числа