Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2016 год

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $H$ — его ортоцентр, $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CH$. Пусть прямые $AN$ и $CM$ пересеклись в точке $L$. Доказать, что $\angle L{{A}_{1}}C =\angle ABH$, где ${{A}_{1}}$ — основание высоты из вершины $A$ треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $\angle LA_{1}C = \angle ABH$ если $E \in LA_{1} \cap AC$ тогда из задачи следует что $\angle AA_{1}E = \angle CA_{1}D$ тогда по теореме Штейнера необходимо доказать соотношение $ \dfrac{AE}{CE} \cdot \dfrac{AD}{CD} = (\dfrac{AA_{1}}{CA_{1}} )^2=(\dfrac{BD}{CD})^2$$(1)$(из подобия)

Доказательство

Пусть $F \in AN \cap BC$ тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей ($ACF,\ A_{1}E$) откуда $\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AL}{LF} \cdot \dfrac{A_{1}F}{A_{1}C}(2)$ по той же теореме для ($ABF, \ CM$) откуда $\dfrac{AL}{LF} = \dfrac{BC}{CF}$ и для ($A_{1}CH, \ AF$) откуда $\dfrac{A_{1}F}{CF} = \dfrac{AA_{1}}{AH}$ тогда выражая с последнего $CF$ и подставляя в $(2)$ получается $\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{BC \cdot AA_{1}}{ CA_{1} \cdot AH} = \dfrac{BD \cdot BC}{CD \cdot AH}$ подставляя найденное в $(1)$ откуда $\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{AH}{AD}$ которая следует из подобия $BDC,AHD$.