Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 9 сынып, 2016 жыл
Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты ABC үшбұрышының биіктіктерінің қилысу нүктесі H, AB-ның ортасы M, ал CH-тың ортасы N болсын. AN мен CM түзулері L нүктесінде қилыссын. Егер ABC үшбұрышының биіктігі AA1 болса, ∠LA1C = ∠ABH екенін дәлелде.
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ∠LA1C=∠ABH если E∈LA1∩AC тогда из задачи следует что ∠AA1E=∠CA1D тогда по теореме Штейнера необходимо доказать соотношение AECE⋅ADCD=(AA1CA1)2=(BDCD)2(1)(из подобия)
Доказательство
Пусть F∈AN∩BC тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей (ACF, A1E) откуда AECE=ALLF⋅A1FA1C(2) по той же теореме для (ABF, CM) откуда ALLF=BCCF и для (A1CH, AF) откуда A1FCF=AA1AH тогда выражая с последнего CF и подставляя в (2) получается AECE=BC⋅AA1CA1⋅AH=BD⋅BCCD⋅AH подставляя найденное в (1) откуда BCBD=AHAD которая следует из подобия BDC,AHD.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.