Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 9 сынып, 2016 жыл


Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты ABC үшбұрышының биіктіктерінің қилысу нүктесі H, AB-ның ортасы M, ал CH-тың ортасы N болсын. AN мен CM түзулері L нүктесінде қилыссын. Егер ABC үшбұрышының биіктігі AA1 болса, LA1C = ABH екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
6 года 2 месяца назад #

Пусть LA1C=ABH если ELA1AC тогда из задачи следует что AA1E=CA1D тогда по теореме Штейнера необходимо доказать соотношение AECEADCD=(AA1CA1)2=(BDCD)2(1)(из подобия)

Доказательство

Пусть FANBC тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей (ACF, A1E) откуда AECE=ALLFA1FA1C(2) по той же теореме для (ABF, CM) откуда ALLF=BCCF и для (A1CH, AF) откуда A1FCF=AA1AH тогда выражая с последнего CF и подставляя в (2) получается AECE=BCAA1CA1AH=BDBCCDAH подставляя найденное в (1) откуда BCBD=AHAD которая следует из подобия BDC,AHD.