Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2016 год

Задача №1. Докажите неравенство

$ax+ay+bx+2by\le 2016$ , если

${{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}\le 1008$ и

${{x}^{2}}+2xy+2{{y}^{2}}\le 4032$ . ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(2)

Задача №2. При всяком ли натуральном

$n$ , большем

$2016$ , из дробей

$\dfrac{1}{n}$ ,

$\dfrac{2}{n-1}$ ,

$\dfrac{3}{n-2}$ ,

$\ldots$ ,

$\dfrac{n-1}{2}$ ,

$\dfrac{n}{1}$ можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами? ( Кахарман Н. )
комментарий/решение

Задача №3. На доске записано число

$x$ . За один шаг его можно заменить либо на число

$2x+4$ , либо на число

$3x+8$ , либо на число

${{x}^{2}}+5x$ . Можно ли за несколько таких шагов из числа 3 получить число 2016 или число 2017. ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$H$ — его ортоцентр,

$M$ — середина

$AB$ ,

$N$ — середина

$CH$ . Пусть прямые

$AN$ и

$CM$ пересеклись в точке

$L$ . Доказать, что

$\angle L{{A}_{1}}C =\angle ABH$ , где

${{A}_{1}}$ — основание высоты из вершины

$A$ треугольника

$ABC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

результаты