Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2016 год

Задача №1.  Докажите неравенство $ax+ay+bx+2by\le 2016$, если ${{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}\le 1008$ и ${{x}^{2}}+2xy+2{{y}^{2}}\le 4032$. ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. При всяком ли натуральном $n$, большем $2016$, из дробей $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{2}{n-1}$, $\dfrac{3}{n-2}$, $\ldots$, $\dfrac{n-1}{2}$, $\dfrac{n}{1}$ можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами? ( Кахарман Н. )
комментарий/решение

---

Задача №3. На доске записано число $x$. За один шаг его можно заменить либо на число $2x+4$, либо на число $3x+8$, либо на число ${{x}^{2}}+5x$. Можно ли за несколько таких шагов из числа 3 получить число 2016 или число 2017. ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $H$ — его ортоцентр, $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CH$. Пусть прямые $AN$ и $CM$ пересеклись в точке $L$. Доказать, что $\angle L{{A}_{1}}C =\angle ABH$, где ${{A}_{1}}$ — основание высоты из вершины $A$ треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---