XII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2013 год
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках A1 и B1, соответственно. На лучах A1I и B1I, соответственно, взяты точки A2 и B2 такие, что IA2=IB2=R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что
a) AA2=BB2=OI, где O — центр описанной окружности треугольника ABC;
b) прямые AA2 и BB2 пересекаются на описанной окружности треугольника ABC. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде
a) AA2=BB2=OI, где O — центр описанной окружности треугольника ABC;
b) прямые AA2 и BB2 пересекаются на описанной окружности треугольника ABC. ( М. Кунгожин )
Комментарий/решение:
a) Пусть окружность ABC равна w и AI∩w=D. Тогда OD⊥CB, A2I⊥CB и так как IA2=R=OD мы имеем A2O//ID, поэтому A2O//AI. Поскольку OA=R=IA2, мы имеем AIA2O равнобедренную трапецию и так OI=AA2. Аналогично OI=BB2
b) BB2∩AA2=E. Тогда ∠EAO=∠A2IO=180−(∠OIB+BIA1)
=90+∠B2−∠OIB=90+∠IBA−∠OIB=90−∠ABE→∠EAO=90−∠ABB2, но если BB2∩w=F то ∠FAO=90−∠ABB2=∠EAO→F=E QED
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.