Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

XII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2013 год


Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках A1 и B1, соответственно. На лучах A1I и B1I, соответственно, взяты точки A2 и B2 такие, что IA2=IB2=R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что
a) AA2=BB2=OI, где O — центр описанной окружности треугольника ABC;
b) прямые AA2 и BB2 пересекаются на описанной окружности треугольника ABC. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
7 года 2 месяца назад #

a) Пусть окружность ABC равна w и AIw=D. Тогда ODCB, A2ICB и так как IA2=R=OD мы имеем A2O//ID, поэтому A2O//AI. Поскольку OA=R=IA2, мы имеем AIA2O равнобедренную трапецию и так OI=AA2. Аналогично OI=BB2

b) BB2AA2=E. Тогда EAO=A2IO=180(OIB+BIA1)

=90+B2OIB=90+IBAOIB=90ABEEAO=90ABB2, но если BB2w=F то FAO=90ABB2=EAOF=E QED