Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

Задача №1.  Можно ли разрезать клетчатый квадрат $100\times 100$ на равное количество прямоугольников $2\times 4$ и $1\times 8$? (Фигурки можно поворачивать и переворачивать.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(4)

---

Задача №2.  Дан треугольник $ABC$, в котором $AB+AC > 3BC$. Внутри этого треугольника отмечены точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC$ и $\angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB$. Докажите, что $AP+AQ > 2BC$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ заданы условиями $a_1=b_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}$, $b_{n+1}=b_n+\root 3\of {b_n}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что существует натуральное число $n$, для которого неравенство $a_n\leq b_k < a_{n+1}$ выполнено ровно при 2021 значениях $k$. ( А. Голованов )
комментарий/решение

---

Задача №4.  На стороне $AC$ треугольника $ABC$ нашлась такая точка $D$, что $BC=DC$. Пусть $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABD$. Докажите, что одна из касательных из точки $J$ ко вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельна прямой $BD$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Найдите все функции $f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}$ такие, что $f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1$ для любых $x,y\in {{R}^{+}}$. (Здесь ${{R}^{+}}$ — множество положительных действительных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(9)

---

Задача №6.  Пусть $a$ — натуральное число. Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $x({{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+x+y+a=0$ в целых числах выполняется неравенство: $|x|\le a+\sqrt{2{{a}^{2}}+2}.$ ( Осипов Н. )
комментарий/решение(1)

---