Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

Можно ли разрезать клетчатый квадрат $100\times 100$ на равное количество прямоугольников $2\times 4$ и $1\times 8$? (Фигурки можно поворачивать и переворачивать.) ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Решение: Допустим, что можно так разрезать. Сделаем раскраску в черный и белый цвета следующим образом:

На нечетных строках чбчб...

На четных строках бббб...

Заметим, что в любой фигурке $4\times 2$ количество белых минус количество черных равно $4.$ А в любой фигурке $8\times 1$ эта разность равна $8$ или $0.$ В общем в квадрате эта разность равна $50\cdot 100.$ Количество каждого вида фигурок равно $5^4,$ следовательно

$$4\equiv 4\cdot 5^4 \equiv 50\cdot 100\equiv 0\pmod 8,\ \text{противоречие}.$$

У меня вопрос, а можно ли рассмотреть случаи типо когда количество четырехугольников 2×4 равно 52 , 51, 50 , 49 ,48 и типо доказать что количество четырехугольников 1×8 либо будет больше количества четырехугольников 2×4, либо меньше количества четырехугольников 2×4, может ли быть полным решением?

так их количество ровно $5^4$

Можно раскрасить клетки на белые и черные следующим образом:

На чётных строках: бббб...

На нечётных строках: чччч...

Ясно, что количество черных равно количеству белых.

Заметим, что в каждой фигурке $4\times4$ ровно 4 белых клетки, а в каждой фигурке $1\times8$, либо 8 белых, либо 0.

Предположим, что можно так разрезать, тогда количество фигурок $1\times8$: $\frac{100\times100}{8\times2}=25^2$ - нечётно.

Это значит, что количество белых не может быть равно количеству черных клеток - противоречие.