Processing math: 62%

Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 10 сынып


Өлшемі 100×100 болатын торлы шаршыны 2×4 және 1×8 тіктөртбұрыш фигураларына, әр фигура саны өзара тең болатындай, кесіп шығуға болады ма? (Фигураларды бұруға және төңкеруге болады.) ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   6
3 года 11 месяца назад #

Решение: Допустим, что можно так разрезать. Сделаем раскраску в черный и белый цвета следующим образом:

На нечетных строках чбчб...

На четных строках бббб...

Заметим, что в любой фигурке 4×2 количество белых минус количество черных равно 4. А в любой фигурке 8×1 эта разность равна 8 или 0. В общем в квадрате эта разность равна 50100. Количество каждого вида фигурок равно 54, следовательно

4\equiv 4\cdot 5^4 \equiv 50\cdot 100\equiv 0\pmod 8,\ \text{противоречие}.

  0
3 года назад #

У меня вопрос, а можно ли рассмотреть случаи типо когда количество четырехугольников 2×4 равно 52 , 51, 50 , 49 ,48 и типо доказать что количество четырехугольников 1×8 либо будет больше количества четырехугольников 2×4, либо меньше количества четырехугольников 2×4, может ли быть полным решением?

  1
3 года назад #

так их количество ровно 5^4

пред. Правка 3   5
2 года 4 месяца назад #

Можно раскрасить клетки на белые и черные следующим образом:

На чётных строках: бббб...

На нечётных строках: чччч...

Ясно, что количество черных равно количеству белых.

Заметим, что в каждой фигурке 4\times4 ровно 4 белых клетки, а в каждой фигурке 1\times8, либо 8 белых, либо 0.

Предположим, что можно так разрезать, тогда количество фигурок 1\times8: \frac{100\times100}{8\times2}=25^2 - нечётно.

Это значит, что количество белых не может быть равно количеству черных клеток - противоречие.