Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасында $BC=DC$ болатындай $D$ нүктесі табылсын. $J$ нүктесі — $ABD$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі. $J$ нүктесінен $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанамалардың біреуі $BD$ түзуіне параллель екенін дәледеңіз ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть параллель из $J$ к прямой $BD$ пересекает $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Заметим, что тогда

$$\angle MJB=\angle JBD=\angle JBM,$$

следовательно $BM=MJ.$ Аналогично $BC=DC.$ Откуда получаем, что

$$BC+MN=DC+MN=DC+(BM+DN)=BM+CN,$$

следовательно в $CBMN$ можно вписать окружность $\omega.$ Заметим, что $\omega$ касается сторон $\triangle ABC.$ Значит $\omega$ его вписанная окружность, откуда следует требуемое, так как $MN$ касается $\omega.$