Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Өлшемі

$100\times 100$ болатын торлы шаршыны

$2\times 4$ және

$1\times 8$ тіктөртбұрыш фигураларына, әр фигура саны өзара тең болатындай, кесіп шығуға болады ма? (Фигураларды бұруға және төңкеруге болады.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$AB+AC > 3BC$ шарты орындалатындай

$ABC$ үшбұрышы берілген. Осы үшбұрыштың ішінен

$\angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC$ және

$\angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB$ болатындай

$P$ және

$Q$ нүктелері белгіленген.

$AP+AQ > 2BC$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$(a_n)$ және

$(b_n)$ тізбектері келесі шарттармен берілген:

$a_1=b_1=1$ және әрбір натурал

$n$ саны үшін

$a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}$ ,

$b_{n+1}=b_n+\root 3\of {b_n}$ .

$a_n\leq b_k < a_{n+1}$ теңсіздігі дәл 2021

$k$ үшін орындалатындай натурал

$n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының

$AC$ қабырғасында

$BC=DC$ болатындай

$D$ нүктесі табылсын.

$J$ нүктесі —

$ABD$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі.

$J$ нүктесінен

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанамалардың біреуі

$BD$ түзуіне параллель екенін дәледеңіз ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез келген

$x,y\in {{R}^{+}}$ үшін

$f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1$ теңдігі орындалатындай барлық

$f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}$ функцияларын табыңыз. (Бұл жерде

${{R}^{+}}$ — оң нақты сандар жиыны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(9)

Есеп №6.

$a$ — натурал сан болсын.

$x({{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+x+y+a=0$ теңдеуінің кез келген бүтін

$(x,y)$ шешімі үшін

$|x|\le a+\sqrt{2{{a}^{2}}+2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз. ( Осипов Н. )
комментарий/решение(1)

результаты