қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Өлшемі $100\times 100$ болатын торлы шаршыны $2\times 4$ және $1\times 8$ тіктөртбұрыш фигураларына, әр фигура саны өзара тең болатындай, кесіп шығуға болады ма? (Фигураларды бұруға және төңкеруге болады.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. $AB+AC > 3BC$ шарты орындалатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. Осы үшбұрыштың ішінен $\angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC$ және $\angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $AP+AQ > 2BC$ екенін дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $(a_n)$ және $(b_n)$ тізбектері келесі шарттармен берілген: $a_1=b_1=1$ және әрбір натурал $n$ саны үшін
$a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}$, $b_{n+1}=b_n+\root 3\of {b_n}$. $a_n\leq b_k < a_{n+1}$ теңсіздігі дәл 2021 $k$ үшін орындалатындай натурал $n$ санының табылатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасында $BC=DC$ болатындай $D$ нүктесі табылсын. $J$ нүктесі — $ABD$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі. $J$ нүктесінен $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанамалардың біреуі $BD$ түзуіне параллель екенін дәледеңіз
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кез келген $x,y\in {{R}^{+}}$ үшін $f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1$ теңдігі орындалатындай барлық $f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}$ функцияларын табыңыз. (Бұл жерде ${{R}^{+}}$ — оң нақты сандар жиыны.)
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №6. $a$ — натурал сан болсын. $x({{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+x+y+a=0$ теңдеуінің кез келген бүтін $(x,y)$ шешімі үшін $|x|\le a+\sqrt{2{{a}^{2}}+2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
(
Осипов Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)