М. Кунгожин

Есеп №1. Теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышында

$H$ нүктесі —

$AB$ табанының ортасы, ал

$M$ —

$BH$ кесіндісінің ортасы.

$HK$ —

$ACH$ үшбұрышының биіктігі, ал

$CM$ және

$BK$ түзулері

$L$ нүктесінде қиылысады.

$BC$ түзуіне

$B$ нүктесінде жүргізілген перпендикуляр мен

$LH$ түзуі

$N$ нүктесінде қиылысады.

$BCN$ бұрышының өлшемі

$ACB$ бұрышының өлшемінен екі есе кіші екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанайды, ал

$AB$ қабырғасына сәйкес келетін іштейсырт сызылған шеңбер сол қабырғалардың созындысын сәйкесінше

$A_2$ және

$B_2$ нүктелерінде жанайды. Іштей сызылған шеңбер

$AB$ қабырғасын

$K$ нүктесінде жанасын.

$O_a$ және

$O_b$ — сәйкесінше

$A_1A_2K$ және

$B_1B_2K$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын.

$O_aO_b$ түзуі

$AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышына сырттай

$\omega$ шеңбер сызылған, ал

$I$ нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

$CI$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$P$ нүктесінде қияды. Диаметрі

$IP$ болатын шеңбер,

$AI$ ,

$BI$ және

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$M$ ,

$N$ және

$K$ нүктелерінде қияды.

$KN$ және

$AB$ кесінділері

$B_1$ , ал

$KM$ және

$AB$ кесінділері

$A_1$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle ACB = \angle A_1IB_1$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында ең үлкен

$C$ бұрышынан

$CH$ биіктігі түсірілген.

$HM$ және

$HN$ — сәйкесінше

$ACH$ және

$BCH$ үшбұрыштарының биіктіктері, ал

$HP$ және

$HQ$ — сәйкесінше

$AMH$ және

$BNH$ үшбұрыштарының биссектрисалары.

$R$ нүктесі —

$H$ нүктесінен

$PQ$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны.

$R$ нүктесі —

$MNH$ үшбұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышына сырттай

$\omega$ шеңбер сызылған, ал

$I$ нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

$CI$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$P$ нүктесінде қияды. Диаметрі

$IP$ болатын шеңбер,

$AI$ ,

$BI$ және

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$M$ ,

$N$ және

$K$ нүктелерінде қияды.

$KN$ және

$AB$ кесінділері

$B_1$ , ал

$KM$ және

$AB$ кесінділері

$A_1$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle ACB = \angle A_1IB_1$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №6.

$ABC$ үшбұрышында

$N$ —

$C$ бұрышынан түсірілген биссектриса табаны,

$M$ —

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$CN$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$D$ нүктесінде қияды.

$AD$ және

$BD$ кесінділерінен

$\angle ACK=\angle BCL$ болатындай сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелері алынған.

$ACK$ және

$BCL$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$P$ нүктесінде, ал

$DM$ және

$KL$ түзулері

$Q$ нүктелерінде қиылысады.

$M,N,P, Q$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №7. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышы берілген.

$K$ және

$M$ — сәйкесінше

$BC$ және

$AD$ қабырғаларының орталары.

$AK$ және

$BM$ кесінділері

$N$ , ал

$KD$ және

$CM$ кесінділері

$L$ нүктелерінде қиылыссын. Пайда болған

$KLMN$ төртбұрышы іштей сызылғаны белгілі.

$BNK$ және

$AMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$Q$ , ал

$KLC$ және

$DML$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$P$ нүктелерінде қиылыссын.

$KLMN$ және

$KPMQ$ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №8. Екі

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері және олардың ортақ

$AB$ және

$CD$ сыртқы жанамалары берілген (

$A$ және

$C$ нүктелері

$\omega_1$ ,

$B$ және

$D$ нүктелері

$\omega_2$ шеңберлерінде жатыр).

$AD$ түзуі

$\omega_1$ шеңберін екінші рет

$P$ нүктесінде, ал

$\omega_2$ шеңберін

$Q$ нүктесінде қияды.

$\omega_1$ -ге

$P$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AB$ түзуін

$R$ , ал

$\omega_2$ -ге

$Q$ нүктесінде жүргізілген жанама

$CD$ түзуін

$S$ нүктелерінде қияды.

$M$ —

$RS$ кесіндісінің ортасы болсын.

$MP=MQ$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №9.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңбері

$ABCD$ параллелограмының

$AD$ және

$DC$ қабырғаларын екінші рет сәйкесінше

$A_1$ және

$C_1$ нүктелерінде қияды.

$AC$ және

$A_1C_1$ түзулері

$E$ нүктесінде қиылыссын.

$BF$ —

$\omega$ -ның диаметі, ал

$O_1$ нүктесі —

$\omega$ -ның центріне

$AC$ -ға қарағанда симметриялы нүкте.

$FO_1$ және

$DE$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №10.

$ABC$ үшбұрышында

$N$ нүктесі —

$B$ бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал

$M$ нүктесі —

$AC$ қабырғасының ортасы.

$BD$ кесіндісінде

$DA=DA_1$ және

$DC=DC_1$ болатындай

$A_1$ және

$C_1$ нүктелері табылған.

$AA_1$ және

$CC_1$ түзулері

$E$ нүктесінде қиылысады.

$ME$ түзуі

$BC$ кесіндісін

$F$ нүктесінде қияды.

$AB+BF=CF$ теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №11. Тікбұрышты

$ABC$ үшбұрышының (

$C$ бұрышы тік) іштей және іштейсырт сызылған шеңберлері

$BC$ қабырғасын сәйкесінше

$A_1$ және

$A_2$ нүктелерінде жанайды. Тағы сол сияқты

${{B}_{1}}$ және

${{B}_{2}}$ нүктелерін анықтаймыз.

${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ және

${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ кесінділері

$ABC$ үшбұрышының

$C$ төбесінен түсірілген биіктікте қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №12. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB$ мен

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_1$ мен

$A_1$ , ал іштейсырт сызылған шеңбер (

$AC$ қабырғасын жанайтын)

$AB$ мен

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_2$ мен

$A_2$ нүктелерінде жанайды.

$N$ нүктесі

$B$ төбесінен жүргізілген биссектриса табаны.

$A_1C_1$ және

$A_2C_2$ түзулері

$AC$ түзуін сәйкесінше

$K_1$ және

$K_2$ нүктелерінде қияды.

$BK_1N$ және

$BK_2N$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше

$P_1$ және

$P_2$ нүктелерінде қисын.

$AP_1=CP_2$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышында

$M$ —

$AC$ қабырғасының ортасы, ал

$\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$\omega$ -ға

$B$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AC$ түзуін

$N$ , ал

$BM$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$L$ нүктесінде қияды.

$P$ нүктесі

$L$ нүктесіне

$M$ -ге қарағанда симметриялы нүкте болсын.

$BPN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер екінші рет

$AN$ түзуін

$Q$ нүктесінде қияды.

$\angle ABP = \angle QBC$ екенін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(13) олимпиада

Есеп №14. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$AB=BC$ ,

$AD=BD$ және

$\angle ADB = 2 \angle BDC$ екені белгілі. Егер

$\angle ACD = 100^\circ$ болса, онда

$ADC$ бұрышын табындар. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №15.

$ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер

$AB$ ,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_1$ ,

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанасын.

$1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса,

$CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен

$C$ төбесінен санағанда

$1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №16.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі

$O$ , ал оған іштей сызылған шеңбер центрі

$I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан

$\angle IA_1B=\angle IA_1C$ және

$\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай

$A_1$

$\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және

$B_1$

$\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын.

$AA_1$ және

$BB_1$ түзулері

$OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №17.

$ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер

$AB$ ,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_1$ ,

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанасын.

$1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса,

$CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен

$C$ төбесінен санағанда

$1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №18. Іштей сызылған дөңес

$ABCD$ төртбұрышының диагональдары

$P$ , ал

$AB$ және

$CD$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылыссын.

$AB$ және

$CD$ қабырғаларынан

$AM/MB = CN/ND$ болатындай сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелері алынсын.

$MN$

$ABCD$ -ның диагональдарын

$Q$ және

$R$ нүктелерінде қисын.

$PRQ$ және

$KMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жазықтықтың бір тұрақты нүктесінде жанасатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №19.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі

$O$ , ал оған іштей сызылған шеңбер центрі

$I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан

$\angle IA_1B=\angle IA_1C$ және

$\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай

$A_1$

$\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және

$B_1$

$\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын.

$AA_1$ және

$BB_1$ түзулері

$OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №20.

$\omega$ шеңбері

$C$ бұрышы доғал болатын

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған, ал

$C'$ —

$AB$ -ға қарағанда

$C$ нүктесіне симметриялы,

$M$ —

$AB$ -ның ортасы,

$C'M$ түзуі

$\omega$ -ны

$N$ нүктесінде қиып өтеді (

$C'$ нүктесі

$M$ мен

$N$ -нің арасында жатыр).

$BC'$ және

$AC'$ түзулері

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$F$ және

$E$ нүктелерінде қиып өтеді, ал

$K$ нүктесі —

$EF$ -тің ортасы.

$AB$ ,

$CN$ және

$KC'$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №21. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы шеңберге іштей сызылған (

${AC > CB}$ ), ал

$N$ нүктесі — осы шеңбердің

$ACB$ доғасының ортасы.

$A_1$ және

$B_1$ нүктелері — сәйкесінше

$A$ және

$B$ нүктелерінен

$NC$ түзуіне түсірілген перпендикулярлар табандары болсын (

$NC$ кесіндісі

$A_1B_1$ кесіндісінің ішінде жатыр).

$A_1AC$ үшбұрышының

$A_1A_2$ биіктігі және

$B_1BC$ үшбұрышының

$B_1B_2$ биіктігі

$K$ нүктесінде қиылыссын. Егер

$M$ нүктесі —

$A_2B_2$ кесіндісінің ортасы болса, онда

$\angle A_1KN=\angle B_1KM$ теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №22. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған

$\omega$ шеңберіне

$A$ және

$B$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$S$ нүктесінде қиылысады.

$M$ —

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$H$ —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі болсын.

$HA$ түзуі

$CM$ және

$CS$ түзулерін сәйкесінше

${{M}_{a}}$ және

${{S}_{a}}$ нүктелерінде қисын. Дәл сол сияқты

${{M}_{b}}$ және

${{S}_{b}}$ нүктелерін анықтаймыз.

${{M}_{a}}{{S}_{b}}$ және

${{M}_{b}}{{S}_{a}}$ –

${{M}_{a}}{{M}_{b}}H$ үшбұрышының биіктіктері екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №23. Центрі

$I$ болатын,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанасын.

$A_1I$ және

$B_1I$ сәулелерінде

$IA_2=IB_2=R$ болатындай сәйкесінше

$A_2$ және

$B_2$ нүктелері алынған, бұл жерде

$R$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы. Олай болса:
a)

$A{{A}_{2}}=B{{B}_{2}}=OI$ , бұл жерде

$O$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі;
b)

$A{{A}_{2}}$ және

$B{{B}_{2}}$ түзулері

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №24.

$\omega$ және

$\Omega$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$M$ нүктесі

$\omega$ шеңберінің

$AB$ доғасының ортасы болсын (

$M$ нүктесі

$\Omega$ -ның ішінде жатыр).

$\omega$ шеңберінің

$MP$ хордасы

$\Omega$ шеңберін

$Q$ нүктесінде қияды (

$Q$ нүктесі

$\omega$ -ның ішінде жатыр).

${{l}_{P}}$ —

$\omega$ шеңберіне

$P$ нүктесінде,

${{l}_{Q}}$ —

$\Omega$ шеңберіне

$Q$ нүктесінде жүргізілген жанамалар болсын.

${{l}_{P}}$ ,

${{l}_{Q}}$ және

$AB$ түзулерінің қиылысуынан пайда болған үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер

$\Omega$ -ны жанайтынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №25.

$ABC$ үшбұрышында

$AD$ және

$BE$ биіктіктері жүргізілген.

$BEC$ бұрышының биссектрисасы

$AD$ -ны

$M$ нүктесінде, ал

$ADC$ бұрышының биссектрисасы

$BE$ -ны

$N$ нүктесінде қияды.

$MN\parallel AB$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №26. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қилысу нүктесі

$H$ ,

$AB$ -ның ортасы

$M$ , ал

$CH$ -тың ортасы

$N$ болсын.

$AN$ мен

$CM$ түзулері

$L$ нүктесінде қилыссын. Егер

$ABC$ үшбұрышының биіктігі

$A{{A}_{1}}$ болса,

$\angle L{{A}_{1}}C$ =

$\angle ABH$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №27.

$\omega$ шеңбері

$ABCD$ төртбұрышына сырттай сызылған.

$AB$ және

$DC$ сәулелері

$K$ , ал

$AD$ и

$BC$ сәулелері

$L$ нүктесінде қиылысады.

$\omega$ -ның центрі арқылы өтетін және

$KL$ -ге перпендикуляр түзу

$KL$ ,

$CD$ және

$AD$ түзулерін сәйкесінше

$P$ ,

$Q$ және

$R$ нүктелерінде қияды.

$QL$ ,

$BP$ және

$KR$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №28.

$ABC$ үшбұрышында

$BK$ биссектрисасы жүргізілген.

$ABK$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберіне

$K$ нүктесінде жүргізілген жанама

$BC$ қабырғасын

$L$ нүктеде қияды.

$AL$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$M$ нүктесінде қисын.

$BM$ түзуінің

$KL$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №29.

$f$ – кез келген квадратты үшмүшесі берілген. Арифметикалық прогрессияның қатар келген

$({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ мүшелері үшін

$F=\{f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),\ldots ,f({{x}_{n}})\}$ жиынының мүшелері де қандай да бір ретте арифметикалық прогрессияның қатар келген мүшелері болатындай

$({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ сандары табыла ма? Егер: \par а)

$n = 3$ болса; \par б)

$n = 4$ болса. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №30. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне

$S$ нүктесінен

$SA$ және

$SB$ жанамалары жүргізілген.

$\omega$ шеңберінде

$AC \parallel OB$ және

$CC’$

$\omega$ -ның диаметрі болатындай

$C$ мен

$C’$ нүктелері алынған.

$BC$ мен

$SA$ түзулері

$K$ , ал

$KC’$ пен

$AC$ түзілері

$M$ нүктесінде қиылыссын. Егер

$BMK$ бұрышы тік болса, онда

$MKC$ үшбұрышында

$M$ нүктесінен түсірілген биіктік

$C$ нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №31.

$xOy$ координат жазықтығында

$y={{x}^{2}}$ параболасы салынған.

$A$ ,

$B$ және

$C$ берілген параболадағы әр түрлі нүктелер болсын.

$BC$ түзуінің

$Oy$ өсімен қиылысу нүктесін

${{A}_{1}}$ арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты

${{B}_{1}}$ мен

${{C}_{1}}$ нүктелері анықталсын.

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелерінен

$Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысы

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелерінен

$Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысынан үлкен екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №32. Теңбүйірлі

$ABC$

$(BC=AC)$ үшбұрышының

$BN$ биссектриссасында

$BK=KC$ және

$KN=NA$ болатындай

$K$ нүктесі табылған.

$ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №33.

$n$ қандай да бір берілген натурал сан, ал

$\{0,1,\ldots,{{n}^{2}}-1\}$ жиынындағы

$m$ саны, қандай да болмасын бүтін

$x$ және

$y$ сандары үшін

${{x}^{n}}+{{y}^{n}}-m$ саны

${{n}^{2}}$ -қа бөлінбейтін сан болсын. Осы шартты қанағаттандыратын

$m$ санының саны

$\dfrac{n(n-1)}{2}$ -ден кем емес екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №34. Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған.

$H$ нүктесі осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал

$M$ нүктесі

$AB$ қабырғасының ортасы болсын.

$\omega$ -ның

$C$ нүктесін қамтымайтын

$AB$ доғасынан

$\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$ болатындай

$P$ және

$Q$ нүктелері алынған.

$R$ және

$S$ нүктелері,

$H$ нүктесінен сәйкесінше

$CQ$ және

$CP$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары болсын.

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ және

$S$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын, және

$M$ нүктесі осы шеңбердің центрі болатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №35.

$ABC$ үшбұрышының қабырғаларына үшбұрыштың сырт жағына қарай аудандары өзара тең болатын

$ABLK$ ,

$BCNM$ және

$CAQP$ тіктөртбұрыштары салынған.

$X$ ,

$Y$ және

$Z$ нүктелері сәйкесінше

$KQ$ ,

$LM$ және

$NP$ кесінділерінің орталары.

$AX$ ,

$BY$ және

$CZ$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №36. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрыштың

$CN$ биссектрисасы

$\omega$ -ны екінші рет

$M$ нүктесінде қисын.

$MK$ —

$BCM$ үшбұрышының биіктігі,

$P$ нүктесі —

$CM$ кесіндісінің ортасы, ал

$Q$ —

$OP$ мен

$AB$ түзулерінің қиылысу нүктесі.

$MQ$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$R$ нүктесінде қисын, ал

$BR$ мен

$MK$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылыссын.

$NT \parallel PK$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №37. Сүйір бұрышты

$ABC$

$(AC > BC)$ үшбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған.

$CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі.

$DA$ сәулесінің

$A$ -дан ары созындысынан

$K$ , ал

$BD$ кесіндісінен

$L$

$(DL > LB)$ нүктелері

$\angle OKD = \angle BAC$ ,

$\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған.

$KL$ түзуінің

$AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №38. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы шеңберге

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AB$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды.

$CDB$ бұрышының биссектрисасы

$AC$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қисын.

$AB$ қабырғасынан

$AK/BL=AM/BM$ болатындай

$M$ нүктесі алынған.

$KL$ және

$DC$ түзулеріне

$M$ нүктесінен түсірілген перпендикулярлар

$AC$ және

$DC$ түзулерін сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қисын.

$CQP$ бұрышының

$ACB$ бұрышынан екі есе кіші екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №39. Сүйір бұрышты

$ABC$

$(AC > BC)$ үшбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған.

$CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі.

$DA$ сәулесінің

$A$ -дан ары созындысынан

$K$ , ал

$BD$ кесіндісінен

$L$

$(DL > LB)$ нүктелері

$\angle OKD = \angle BAC$ ,

$\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған.

$KL$ түзуінің

$AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №40. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$K$ және

$N$ нүктелері

$AC$ қабырғасындағы, ал

$M$ және

$L$ нүктелері

$BC$ қабырғасындағы

$AN=CK=CL=BM$ теңдіктері орындалатындай нүктелер.

$KL$ және

$MN$ кесінділері

$P$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle RPN = \angle QPK$ теңдігін дәлелдеңіз, бұл жерде

$R$ —

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$Q$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$ACB$ доғасының ортасы. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №41. Тікбұрышты теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышының

$AC$ және

$BC$ катеттерінен

$AK/KC=4/1$ және

$CL/BL=3/2$ болатындай сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелері алынған.

$KML$ үшбұрышы да тікбұрышты теңбүйірлі болсын, ал

$O$ оның

$MK$ гипотенузасының ортасы болсын. Онда,

$O$ нүктесі

$ACB$ бұрышының сыртқы бұрышының немесе ішкі бұрышының биссектрисасында жататынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №42. Центрі

$O$ болатын шеңберге

$S$ нүктесінен

$SA$ және

$SB$ жанамалары жүргізілген. Шеңбер бойынан

$A$ -дан өзге,

$AC$ және

$SO$ түзулері параллель болатындай

$C$ нүктесі алынған.

$O$ нүктесі

$BC$ түзуінде жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №43. Натурал

$n$ санын 3-ке бөлгенде 1 қалдық береді, сондай-ақ оның 3-ке бөлгенде 1 қалдық беретін әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны тақ. Осындай, әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны 2017-ден кем болмайтындай

$n$ санына мысал келтір. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №44.

$ABC$ үшбұрышына сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиустары сәйкесінше

$R$ және

$r$ , ал

$I$ — оған іштей сызылған шеңбердің центрі болсын.

${{A}_{1}}$ арқылы

$I$ -дің

$BC$ қабырғасының орта перпендикулярына қарағандағы симметриялы нүктені белгілейік. Дәл сол сияқты

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелерін де анықтайық.

$ABC$ және

${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрыштарының ұқсас екенін дәлелдеңіз және ұқсастық коэффициентін табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №45. Центрі

$O$ болатын шеңберге

$A$ нүктесінен

$AB$ жанамасы жүргізілген. Шеңбер бойынан

$B$ -дан өзге

$AO\parallel BC$ болатындай

$C$ нүктесі алынған.

$ABCD$ параллелограмм болсын, және

$M$ нүктесі оның диагоналдарының қиылысу нүктесі болсын. Онда

$AB=2MO$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №46.

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ сандары

$0,1,\ldots ,9$ цифрларының орын ауыстыруы болсын, және

$M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$ болсын.

$M$ санының ең үлкен және ең кіші мәндері қандай бола алады? Табылған жауаптарға мысал келтіріңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №47.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle A=40{}^\circ$ және

$\angle B=80{}^\circ$ болсын.

$AB$ қабырғасынан

$AK=BL$ және

$\angle KCL=30{}^\circ$ болатындай

$K$ және

$L$ нүктелері алынған (

$K$ нүктесі

$A$ мен

$L$ нүктелерінің арасында орналасқан).

$LCB$ бұрышын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №48.

$a$ ,

$b$ ,

$x$ ,

$y$ сандары үшін

${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$ теңсіздігі орындалатыны белгілі болса, мына теңсіздікті дәлелде:

$ab+xy\ge ax+by.$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №49. На сторонах

$AB$ ,

$BC$ и

$CA$ треугольника

$ABC$ соответственно взяты точки

$N$ ,

$K$ и

$L$ так, что

$AL=BK$ и

$CN$ -- биссектриса угла

$C$ . Отрезки

$AK$ и

$BL$ пересекаются в точке

$P$ . Обозначим через

$I$ и

$J$ центры вписанных окружностей треугольников

$APL$ и

$BPK$ соответственно. Пусть

$Q$ -- точка пересечения прямых

$CN$ и

$IJ$ . Докажите, что

$IP=JQ$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №50. Дан параллелограмм

$ABCD$ . Некоторая окружность проходит через точки

$A$ и

$B$ и пересекает отрезки

$BD$ и

$AC$ во второй раз соответственно в точках

$X$ и

$Y$ , а описанная окружность треугольника

$ADX$ пересекает отрезок

$AC$ во второй раз в точке

$Z$ . Докажите, что отрезки

$AY$ и

$CZ$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №51. Диагонали трапеции

$ABCD$ (

$AD \parallel BC$ ) пересекаются в точке

$K$ . На прямой

$AD$ отмечены точки

$L$ и

$M$ так, что

$A$ лежит на отрезке

$LD$ ,

$D$ лежит на отрезке

$AM$ ,

$AL=AK$ и

$DM=DK$ . Докажите, что прямые

$CL$ и

$BM$ пересекаются на биссектрисе угла

$BKC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №52. В равнобокой трапеции

$ABCD$ точка

$O$ — середина основания

$AD$ . Окружность с центром в точке

$O$ и радиусом

$BO$ касается прямой

$AB$ . Пусть отрезок

$AC$ пересекает эту окружность в точке

$K$ (

$C \ne K$ ), и пусть

$M$ такая точка, что

$ABCM$ — параллелограмм. Описанная окружность треугольника

$CMD$ пересекает отрезок

$AC$ в точке

$L$

$(L \ne C)$ . Докажите, что

$AK=CL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №53. На боковой стороне

$CD$ трапеции

$ABCD$ нашлась точка

$M$ такая, что

$BM=BC$ . Пусть прямые

$BM$ и

$AC$ пересекаются в точке

$K$ , а прямые

$DK$ и

$BC$ — в точке

$L$ . Докажите, что углы

$BML$ и

$DAM$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №54. Диагонали вписанного выпуклого четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ . Пусть

$\ell$ — прямая, делящая угол

$AOB$ пополам. Обозначим через

$(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$ невырожденный треугольник, образованный прямыми

$\ell_1,\ell_2,\ell_3$ . Пусть

$\Delta_1=(\ell,AB,CD)$ и

$\Delta_2=(\ell,AD,BC)$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$\Delta_1$ и

$\Delta_2$ касаются друг друга. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №55. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ ,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларынан сәйкесінше

$H$ ,

$L$ және

$K$ нүктелері

${CH \perp AB}$ ,

${HL \parallel AC}$ және

${HK \parallel BC}$ болатындай алынған.

$P$ және

$Q$ нүктелері —

$HBL$ үшбұрышының сәйкесінше

$H$ және

$B$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары.

$AKH$ үшбұрышының

$A$ және

$H$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары

$PQ$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №56. Продолжение медианы

$CM$ треугольника

$ABC$ пересекает описанную около него окружность

$\omega$ в точке

$N$ . На лучах

$CA$ и

$CB$ соответственно отмечены точки

$P$ и

$Q$ так, что

$PM \parallel BN$ и

$QM \parallel AN$ . На отрезках

$PM$ и

$QM$ соответственно отмечены точки

$X$ и

$Y$ так, что прямые

$PY$ и

$QX$ касаются

$\omega$ . Отрезки

$PY$ и

$QX$ пересекаются в точке

$Z$ . Докажите, что четырехугольник

$MXZY$ описанный. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №57. Теріс емес

$x, y$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\sqrt{x^2 - x + 1}\sqrt{y^2 - y + 1} + \sqrt{x^2 + x + 1}\sqrt{y^2 + y + 1} \ge 2(x + y).$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада

Есеп №58. Дан вписанный выпуклый пятиугольник

$ABCDE$ . Окружность с центром в точке

$E$ и радиусом

$AE$ пересекает отрезки

$AC$ и

$AD$ в

$X$ и

$Y$ соответственно, а окружность с центром в точке

$C$ радиусом

$BC$ пересекает отрезки

$BE$ и

$BD$ в точках

$Z$ и

$T$ соответственно. Прямые

$XY$ и

$ZT$ пересекаются в точке

$F$ . Докажите, что

$DF$ и

$EC$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №59. В прямоугольном треугольнике

$ABC$ точка

$D$ симметрична точке

$C$ относительно гипотенузы

$AB$ . Пусть

$M$ — произвольная точка отрезка

$AC$ , а

$P$ — основание перпендикуляра из точки

$C$ на прямую

$BM$ . Точка

$H$ — середина отрезка

$CD$ . На отрезке

$CH$ (внутри угла

$HPB$ ) нашлась такая точка

$N$ , что

$\angle DPH = \angle NPB$ . Докажите, что точки

$M$ ,

$P$ ,

$N$ и

$D$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №60. Сүйірбұрышты, теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышының биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады.

$C_1H$ кесіндісінде

$K$ нүктесі белгіленген, бұл жерде

$CC_1$ — үшбұрыштың биіктігі.

$L$ және

$M$ нүктелері

$K$ нүктесінен сәйкесінше

$AC$ және

$BC$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары.

$AM$ және

$BL$ түзулері

$N$ нүктесінде қиылысады.

$\angle ANK=\angle HNL$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №61. На отрезке

$BC$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$M$ . Пусть

$I$ ,

$K$ ,

$L$ — соответственно центры вписанных окружностей

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ ,

$\omega_3$ треугольников

$ABC$ ,

$ABM$ ,

$ACM$ . Общая внешняя касательная к окружностям

$\omega_2$ и

$\omega_3$ , отличная от прямой

$BC$ , пересекает отрезок

$AM$ в точке

$J$ . Известно, что точки

$I$ и

$J$ не совпадают и лежат внутри

$\triangle AKL$ . Докажите, что в треугольнике

$AKL$ точки

$I$ и

$J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки

$P$ и

$P'$ треугольника

$ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если

$\angle ABP=\angle CBP'$ ,

$\angle BAP = \angle CAP'$ ,

$\angle BCP=\angle ACP'$ .) ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №62. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$I$ — центр вписанной окружности, а

$CN$ — биссектриса. Прямая

$CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$M$ . Прямая

$\ell$ параллельна прямой

$AB$ и касается вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Точка

$R$ на прямой

$\ell$ такова, что

$CI \perp IR$ . Описанная окружность треугольника

$MNR$ вторично пересекает прямую

$IR$ в точке

$S$ . Докажите, что

$AS=BS$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №63.

$ABC$ үшбұрышының

$CM$ медианасында

$AB^2=4 \cdot MN \cdot MC$ болатындай

$N$ нүктесі белгіленген.

$AN$ және

$BN$ түзулері

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$R$ нүктесі —

$PQ$ кесіндісіндегі

$\angle NRC = \angle BNC$ теңдігі орындалатындай

$Q$ -ға ең жақын нүкте;

$S$ нүктесі —

$PQ$ кесіндісіндегі

$\angle NSC = \angle ANC$ теңдігі орындалатындай

$P$ -ға ең жақын нүкте.

$RN = SN$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №64.

$ABC$ үшбұрышының

$CM$ медианасында

$AB^2=4 \cdot MN \cdot MC$ болатындай

$N$ нүктесі белгіленген.

$AN$ және

$BN$ түзулері

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$R$ нүктесі —

$PQ$ кесіндісіндегі

$\angle NRC = \angle BNC$ теңдігі орындалатындай

$Q$ -ға ең жақын нүкте;

$S$ нүктесі —

$PQ$ кесіндісіндегі

$\angle NSC = \angle ANC$ теңдігі орындалатындай

$P$ -ға ең жақын нүкте.

$RN = SN$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №65. Шексіз және қатаң өспелі

$a_1,$

$a_2,$

$a_3,$

$\ldots$ натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал

$n$ саны үшін

$a_n \leq n+2020$ екені және

$n^3 a_n - 1$ саны

$a_{n+1}$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал

$n$ үшін

$a_n = n$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №66. Іштей сызылған дөңес

$ABCDEF$ алтыбұрышында

$BC=EF$ және

$CD=AF$ .

$AC$ және

$BF$ диагоналдары

$Q$ нүктесінде, ал

$EC$ және

$DF$ диагоналдары

$P$ нүктесінде қиылысады.

$DF$ және

$BF$ кесінділерінде сәйкесінше

$R$ және

$S$ нүктелері

$FR=PD$ және

$BQ=FS$ болатындай белгіленген.

$RQ$ және

$PS$ кесінділері

$T$ нүктесінде қиылысады.

$TC$ түзуі

$DB$ диагоналін қақ ортасынан бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №67.

$ABC$

$(\angle C = 90^\circ)$ үшбұрышының

$BC$ катетінде

$\angle CAK =\angle KAL =\angle LAB$ болатындай

$K$ және

$L$ нүктелері белгіленген.

$AB$ гипотенузасында

$M$ нүктесі

$ML = KL$ болатындай нүкте.

$C$ нүктесінен

$AK$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр

$ML$ кесіндісін екі тең бөлікке бөлмейтінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №68.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle ACB+\angle AKL=50{}^\circ$ және

$\angle ABC+\angle ALK=70{}^\circ$ болатындай

$AB$ қабырғасынан

$K$ нүктесі, ал

$AC$ қабырғасынан

$L$ нүктесі алынған.

$BAC$ бұрышының өлшемі қанша бола алады? ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №69.

$ABCD$ трапециясының

$(AD \parallel BC)$ диагональдары

$K$ нүктесінде қиылысады.

$ABK$ үшбұрышының ішінде

$\angle MBC = \angle MAD,$

$\angle MCB = \angle MDA$ болатындай

$M$ нүктесі алынған.

$MK \parallel AD$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №70.

$ABCD$ дөңес төртбұрышының

$AB$ және

$CD$ қабырғаларының созындысы

$P$ нүктесінде, ал

$AC$ және

$BD$ диагональдері

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$M$ және

$N$ нүктелері сәйкесінше

$AC$ және

$BD$ диагональдерінің орталары.

$BCQ$ және

$MNQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$T$ (

$T\ne Q$ ) нүктесінде қиылысады. Егер

$\angle APD =90^\circ$ болса, онда

$PT$ түзуі

$MN$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №71.

$ABC$ (

$AC > BC$ ) үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың

$CN$ биссектрисасы

$\omega$ --ны

$M$ (

$M\ne C$ ) нүктесінде қияды.

$BN$ кесіндісінің бойында кез келген

$T$ нүктесі белгіленген.

$H$ нүктесі —

$MNT$ үшбұрышының ортоцентрі болсын.

$MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$\omega$ --ны

$R$ (

$R\ne M$ ) нүктесінде қияды.

$\angle ACT = \angle BCR$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №72.

$ABC$ үшбұрышының

$AC$ қабырғасында

$BC=DC$ болатындай

$D$ нүктесі табылсын.

$J$ нүктесі —

$ABD$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі.

$J$ нүктесінен

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанамалардың біреуі

$BD$ түзуіне параллель екенін дәледеңіз ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №73.

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы.

$AC$ кесіндісінде

$CB=CB_1$ болатындай

$B_1$ нүктесі белгіленген.

$ABC$ және

$BMB_1$ үшбұрыштарына сырттай сызылған сәйкесінше

$\omega$ және

$\omega_1$ шеңберлері екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$Q$ нүктесі —

$\omega$ шеңберіндегі

$ACB$ доғаның ортасы.

$B_1Q$ және

$BC$ түзулері

$E$ нүктесінде қиылысады.

$KC$ түзуінің

$B_1E$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №74. В окружности

$\omega$ диаметр

$AB$ и хорда

$CD$ перпендикулярны. Пусть

$M$ любая точка отрезка

$AC$ . Точка

$P$ -- основание перпендикуляра из точки

$C$ на прямую

$BM$ . Пусть окружность

$\omega_1$ , описанная около треугольника

$MPD$ , пересекает описанную окружность треугольника

$CPB$ во второй раз в точке

$Q$ (точки

$P$ и

$Q$ лежат по разные стороны от прямой

$AB$ ). Прямая

$CD$ вторично

$\omega_1$ в точке

$N$ . Докажите, что

$\angle CQN = \angle BPN$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №75.

$C$ бұрышы доғал болатын теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$AC$ қабырғасының (

$C$ нүктесінен ары қарайғы) созындысынан

$\angle KBC = \angle ABC$ болатындай етіп

$K$ нүктесі алынған.

$\angle BKC$ және

$\angle ACB$ бұрыштарының биссектрисаларының қиылысуы

$S$ нүктесі болсын.

$AB$ және

$KS$ түзулері

$L$ нүктесінде, ал

$BS$ және

$CL$ түзулері

$M$ нүктесінде қиылыссын.

$KM$ түзуі

$BC$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №76. В параллелограмме

$ABCD$ с острым углом

$A$ на отрезке

$AD$ отмечена точка

$N$ , а на отрезке

$CN$ — точка

$M$ так, что

$AB=BM=CM$ . Точка

$K$ симметрична точке

$N$ относительно прямой

$MD$ . Прямая

$MK$ пересекает отрезок

$AD$ в точке

$L$ . Пусть

$P$ — общая точка описанных окружностей треугольников

$AMD$ и

$CNK$ , причем точки

$A$ и

$P$ лежат по одну сторону от прямой

$MK$ . Докажите, что

$\angle CPM=\angle DPL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №77. В треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ , а

$I$ — центр вписанной окружности. Точка

$A_1$ симметрична точке

$A$ относительно прямой

$BI$ , а точка

$B_1$ симметрична точке

$B$ относительно прямой

$AI$ . Пусть

$N$ — середина отрезка

$A_1B_1$ . Докажите, что

$IN > IM$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №78.

$C$ төбесіндегі бұрышы

$100 ^\circ$ болатын

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ қабырғасынан

$AP=BC$ және

$BQ=AC$ болатындай

$P$ және

$Q$ нүктелері алынған.

$M$ ,

$N$ ,

$K$ нүктелері сәкесінше

$AB$ ,

$CP$ ,

$CQ$ кесінділерінің орталары болсын.

$NMK$ бұрышын анықтаңдар. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №79.

$\omega$ шеңберіне дөңес

$ABCD$ төртбұрышы іштей сызылған.

$AB$ және

$DC$ сәулелері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$BD$ диагональында

$\angle BAC = \angle DAL$ болатындай

$L$ нүктесі алынған.

$KL$ кесіндісінде

$CM \parallel BD$ болатындай

$M$ нүктесі белгіленген.

$BM$ түзуі

$\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №80. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\Omega$ шеңберге

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$AB$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды.

$D$ арқылы өтететін түзу

$AC$ және

$BC$ қабырғаларын, сәйкесінше,

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$AB$ қабырғасынан

$AC \parallel NL$ ,

$BC \parallel KM$ болатындай

$M$ және

$N$ нүктелері белгіленген.

$NL$ және

$KM$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады (

$P$

$\triangle ABC$ -ның ішінде жатыр).

$CP$ түзуі

$MNP$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберін екінші рет

$Q$ нүктесінде қияды.

$DQ$ түзуі

$\omega$ -ны жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №81. \q1

$ABC$ үшбұрышының іштейсырт сызылған шеңбері

$AB$ қабырғасын

$M$ , ал

$AC$ және

$BC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше,

$N$ және

$K$ нүктелерінде жанайды.

$NK$ кесіндісінде

$P$ және

$Q$ нүктелері

$AN=AP$ және

$BK=BQ$ болатындай алынған.

$MPQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусына тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада

Есеп №82. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне

$ABC$ үшбұрышы іштей сызылған (

$\angle C > 90^\circ$ және

$AC>BC$ ).

$\omega$ -ға

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$AB$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды.

$\Omega$ —

$AOB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын.

$OD$ және

$AC$ түзулері

$\Omega$ -ны екінші рет, сәйкесінше,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$OF$ және

$CE$ түзулері

$T$ , ал

$OD$ және

$BC$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$O$ ,

$T$ ,

$B$ ,

$K$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №83. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне

$ABC$ үшбұрышы іштей сызылған (

$\angle C > 90^\circ$ және

$AC>BC$ ).

$\omega$ -ға

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$AB$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды.

$\Omega$ —

$AOB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын.

$OD$ және

$AC$ түзулері

$\Omega$ -ны екінші рет, сәйкесінше,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$OF$ және

$CE$ түзулері

$T$ , ал

$OD$ және

$BC$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$O$ ,

$T$ ,

$B$ ,

$K$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №84.

$\Omega$ және

$\Gamma$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады. Осы шеңберлердің центрлері арқылы өтетін түзу

$\Omega$ және

$\Gamma$ -ны, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды (мұнда

$P$ және

$Q$ нүктелері

$AB$ -ның бір жағында жатыр әрі

$Q$ нүктесі

$P$ -ға қарағанда

$AB$ -ға жақынырақ орналасқан).

$\delta$ шеңбері

$AB$ кесіндісін

$D$ , ал

$\Gamma$ -ны

$T$ нүктесінде жанайды (мұнда

$\delta$ шеңбері және

$P$ ,

$Q$ нүктелері

$AB$ -ның бір жағында жатыр).

$PD$ түзуі

$\delta$ -ны екінші рет

$K$ , ал

$\Omega$ -ны екінші рет

$L$ нүктесінде қияды.

$\angle QTK=\angle DTL$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №85. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ биіктігі жүргізілген.

$H$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$A$ және

$B$ нүктелері арқылы өтетін

$\Omega$ шеңбері

$AC$ түзуін жанайды.

$BE$ кесіндісі

$\Omega$ -ның диаметрі болсын.

$BH$ және

$AH$ түзулері

$\Omega$ -ны екінші рет, сәйкесінше,

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$EK$ және

$AB$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle BDK=\angle BLT$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №86. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ биіктігі жүргізілген.

$H$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$A$ және

$B$ нүктелері арқылы өтетін

$\Omega$ шеңбері

$AC$ түзуін жанайды.

$BE$ кесіндісі

$\Omega$ -ның диаметрі болсын.

$BH$ және

$AH$ түзулері

$\Omega$ -ны екінші рет, сәйкесінше,

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$EK$ және

$AB$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle BDK=\angle BLT$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №87. Теңбүйірлі емес

$ABCD$ (

$AB \parallel DC$ ) трапециясы берілген.

$A$ және

$B$ нүктелері арқылы өтетін қандай да бір шеңбер

$AD$ және

$BC$ қабырғаларын, сәйкесінше,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$AF$ және

$BE$ кесінділері

$G$ , ал

$ADG$ және

$BCG$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$H$ нүктесінде қиылысады. Егер

$DG=CG$ болса, онда

$H$ нүктесі

$ABG$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №88.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$AB$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды.

$CAB$ ,

$CBA$ және

$CDA$ бұрыштарының биссектрисалары шектейтін үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер

$CD$ түзуімен жанасатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №89.

$O$ нүктесі сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, ал

$CH$ — осы үшбұрыштың биіктігі.

$K$ нүктесі

$H$ нүктесіне

$AC$ -ға қатысты, ал

$L$ нүктесі

$H$ нүктесіне

$BC$ -ға қатысты симметриялы нүкте.

$CO$ түзуі

$HK$ және

$HL$ түзулерін, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$PQH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$KLP$ және

$KLQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді, сәйкесінше, екінші рет

$P_1$ және

$Q_1$ нүктелерінде қияды.

$C$ ,

$P_1$ және

$Q_1$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №90. Тең бүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы,

$I$ — іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$J$ —

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңбердің

$C$ -ны қамтымайтын

$AB$ доғасының ортасы. Центрі

$J$ және радиусы

$JM$ болатын шеңберге

$IP$ және

$IQ$ жанамалары жүргізілген (мұнда

$A$ мен

$P$ нүктелері

$CI$ түзуінің бір жағында жатыр).

$APJ$ және

$BQJ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$R$ нүктесінде қиылысады.

$R$ нүктесі

$AB$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №91. Тең бүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы,

$I$ — іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$J$ —

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңбердің

$C$ -ны қамтымайтын

$AB$ доғасының ортасы. Центрі

$J$ және радиусы

$JM$ болатын шеңберге

$IP$ және

$IQ$ жанамалары жүргізілген (мұнда

$A$ мен

$P$ нүктелері

$CI$ түзуінің бір жағында жатыр).

$APJ$ және

$BQJ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$R$ нүктесінде қиылысады.

$IP$ және

$IQ$ түзулері

$AB$ түзуін, сәйкесінше,

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды.

$MX_1$ және

$MY_1$ , сәйкесінше,

$XMJ$ және

$YMJ$ үшбұрыштарының биссектрисалары.

$X_1, Y_1$ және

$R$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №92. Тең бүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы,

$I$ — іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$J$ —

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңбердің

$C$ -ны қамтымайтын

$AB$ доғасының ортасы. Центрі

$J$ және радиусы

$JM$ болатын шеңберге

$IP$ және

$IQ$ жанамалары жүргізілген (мұнда

$A$ мен

$P$ нүктелері

$CI$ түзуінің бір жағында жатыр).

$APJ$ және

$BQJ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$R$ нүктесінде қиылысады.

$IP$ және

$IQ$ түзулері

$AB$ түзуін, сәйкесінше,

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды.

$MX_1$ және

$MY_1$ , сәйкесінше,

$XMJ$ және

$YMJ$ үшбұрыштарының биссектрисалары.

$X_1, Y_1$ және

$R$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада