қазақша
русскийМ. Кунгожин
Есеп №1. Теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышында $H$ нүктесі — $AB$ табанының ортасы, ал $M$ — $BH$ кесіндісінің ортасы. $HK$ — $ACH$ үшбұрышының биіктігі, ал $CM$ және $BK$ түзулері $L$ нүктесінде қиылысады. $BC$ түзуіне $B$ нүктесінде жүргізілген перпендикуляр мен $LH$ түзуі $N$ нүктесінде қиылысады. $BCN$ бұрышының өлшемі $ACB$ бұрышының өлшемінен екі есе кіші екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $BC$ және $AC$ қабырғаларын $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанайды, ал $AB$ қабырғасына сәйкес келетін іштейсырт сызылған шеңбер сол қабырғалардың созындысын сәйкесінше $A_2$ және $B_2$ нүктелерінде жанайды. Іштей сызылған шеңбер $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде жанасын. $O_a$ және $O_b$ — сәйкесінше $A_1A_2K$ және $B_1B_2K$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $O_aO_b$ түзуі $AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына сырттай $\omega$ шеңбер сызылған, ал $I$ нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі. $CI$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қияды. Диаметрі $IP$ болатын шеңбер, $AI$, $BI$ және $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $M$, $N$ және $K$ нүктелерінде қияды. $KN$ және $AB$ кесінділері $B_1$, ал $KM$ және $AB$ кесінділері $A_1$ нүктесінде қиылыссын. $\angle ACB = \angle A_1IB_1$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында ең үлкен $C$ бұрышынан $CH$ биіктігі түсірілген. $HM$ және $HN$ — сәйкесінше $ACH$ және $BCH$ үшбұрыштарының биіктіктері, ал $HP$ және $HQ$ — сәйкесінше $AMH$ және $BNH$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $R$ нүктесі — $H$ нүктесінен $PQ$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $R$ нүктесі — $MNH$ үшбұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышына сырттай $\omega$ шеңбер сызылған, ал $I$ нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі. $CI$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қияды. Диаметрі $IP$ болатын шеңбер, $AI$, $BI$ және $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $M$, $N$ және $K$ нүктелерінде қияды. $KN$ және $AB$ кесінділері $B_1$, ал $KM$ және $AB$ кесінділері $A_1$ нүктесінде қиылыссын. $\angle ACB = \angle A_1IB_1$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышында $N$ — $C$ бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, $M$ — $AB$ қабырғасының ортасы, ал $\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $CN$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $D$ нүктесінде қияды. $AD$ және $BD$ кесінділерінен $\angle ACK=\angle BCL $болатындай сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелері алынған. $ACK$ және $BCL$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $P$ нүктесінде, ал $DM$ және $KL$ түзулері $Q$ нүктелерінде қиылысады. $M,N,P, Q$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №7. Дөңес $ABCD$ төртбұрышы берілген. $K$ және $M$ — сәйкесінше $BC$ және $AD$ қабырғаларының орталары. $AK$ және $BM$ кесінділері $N$, ал $KD$ және $CM$ кесінділері $ L$ нүктелерінде қиылыссын. Пайда болған $KLMN$ төртбұрышы іштей сызылғаны белгілі. $BNK$ және $AMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $Q$, ал $KLC$ және $DML$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $P$ нүктелерінде қиылыссын. $KLMN$ және $KPMQ$ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №8. Екі $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері және олардың ортақ $AB$ және $CD$ сыртқы жанамалары берілген ($A$ және $C$ нүктелері $\omega_1$, $B$ және $D$ нүктелері $\omega_2$ шеңберлерінде жатыр). $AD$ түзуі $\omega_1$ шеңберін екінші рет $P$ нүктесінде, ал $\omega_2$ шеңберін $Q$ нүктесінде қияды. $\omega_1$-ге $P$ нүктесінде жүргізілген жанама $AB$ түзуін $R$, ал $\omega_2$-ге $Q$ нүктесінде жүргізілген жанама $CD$ түзуін $S$ нүктелерінде қияды. $M$ — $RS$ кесіндісінің ортасы болсын. $MP=MQ$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №9. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңбері $ABCD$ параллелограмының $AD$ және $DC$ қабырғаларын екінші рет сәйкесінше $A_1$ және $C_1$ нүктелерінде қияды. $AC$ және $A_1C_1$ түзулері $E$ нүктесінде қиылыссын. $BF$ — $\omega$-ның диаметі, ал $O_1$ нүктесі — $\omega$-ның центріне $AC$-ға қарағанда симметриялы нүкте. $FO_1$ және $DE$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №10. $ABC$ үшбұрышында $N$ нүктесі — $B$ бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы. $BD$ кесіндісінде $DA=DA_1$ және $DC=DC_1$ болатындай $A_1$ және $C_1$ нүктелері табылған. $AA_1$ және $CC_1$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $ME$ түзуі $BC$ кесіндісін $F$ нүктесінде қияды. $AB+BF=CF$ теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №11. Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышының ($C$ бұрышы тік) іштей және іштейсырт сызылған шеңберлері $BC$ қабырғасын сәйкесінше $A_1$ және $A_2$ нүктелерінде жанайды. Тағы сол сияқты ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелерін анықтаймыз. ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ және ${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ кесінділері $ABC$ үшбұрышының $C$ төбесінен түсірілген биіктікте қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №12. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ мен $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_1$ мен $A_1$, ал іштейсырт сызылған шеңбер ($AC$ қабырғасын жанайтын) $AB$ мен $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_2$ мен $A_2$ нүктелерінде жанайды. $N$ нүктесі $B$ төбесінен жүргізілген биссектриса табаны. $A_1C_1$ және $A_2C_2$ түзулері $AC$ түзуін сәйкесінше $K_1$ және $K_2$ нүктелерінде қияды. $BK_1N$ және $BK_2N$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше $P_1$ және $P_2$ нүктелерінде қисын. $AP_1=CP_2$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №13. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышында $M$ — $AC$ қабырғасының ортасы, ал $\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $\omega$-ға $B$ нүктесінде жүргізілген жанама $AC$ түзуін $N$, ал $BM$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $L$ нүктесінде қияды. $P$ нүктесі $L$ нүктесіне $M$-ге қарағанда симметриялы нүкте болсын. $BPN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер екінші рет $AN$ түзуін $Q$ нүктесінде қияды. $\angle ABP = \angle QBC$ екенін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(13) олимпиада
Есеп №14. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AB=BC$, $AD=BD$ және $\angle ADB = 2 \angle BDC$ екені белгілі. Егер $\angle ACD = 100^\circ$ болса, онда $ADC$ бұрышын табындар. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №15. $ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер $AB$, $BC$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_1$, $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанасын. $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса, $CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен $C$ төбесінен санағанда $1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №16. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі $O$, ал оған іштей сызылған шеңбер центрі $I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан $\angle IA_1B=\angle IA_1C $ және $\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай $A_1$ $\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және $B_1$ $\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын. $AA_1$ және $BB_1$ түзулері $OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №17. $ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер $AB$, $BC$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_1$, $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанасын. $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса, $CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен $C$ төбесінен санағанда $1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №18. Іштей сызылған дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $P$, ал $AB$ және $CD$ түзулері $K$ нүктесінде қиылыссын. $AB$ және $CD$ қабырғаларынан $AM/MB = CN/ND$ болатындай сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынсын. $MN$ $ABCD$-ның диагональдарын $Q$ және $R$ нүктелерінде қисын. $PRQ$ және $KMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жазықтықтың бір тұрақты нүктесінде жанасатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №19. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі $O$, ал оған іштей сызылған шеңбер центрі $I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан $\angle IA_1B=\angle IA_1C $ және $\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай $A_1$ $\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және $B_1$ $\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын. $AA_1$ және $BB_1$ түзулері $OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №20. $\omega $ шеңбері $C$ бұрышы доғал болатын $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған, ал $C'$ — $AB$-ға қарағанда $C$ нүктесіне симметриялы, $M$ — $AB$-ның ортасы, $C'M$ түзуі $\omega $-ны $N$ нүктесінде қиып өтеді ($C'$ нүктесі $M$ мен $N$-нің арасында жатыр). $BC'$ және $AC'$ түзулері $\omega $-ны екінші рет сәйкесінше $F$ және $E$ нүктелерінде қиып өтеді, ал $K$ нүктесі — $EF$-тің ортасы. $AB$, $CN$ және $KC'$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №21. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы шеңберге іштей сызылған (${AC > CB}$), ал $N$ нүктесі — осы шеңбердің $ACB$ доғасының ортасы. $A_1$ және $B_1$ нүктелері — сәйкесінше $A$ және $B$ нүктелерінен $NC$ түзуіне түсірілген перпендикулярлар табандары болсын ($NC$ кесіндісі $A_1B_1$ кесіндісінің ішінде жатыр). $A_1AC$ үшбұрышының $A_1A_2$ биіктігі және $B_1BC$ үшбұрышының $B_1B_2$ биіктігі $K$ нүктесінде қиылыссын. Егер $M$ нүктесі — $A_2B_2$ кесіндісінің ортасы болса, онда $\angle A_1KN=\angle B_1KM$ теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №22. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған $\omega $ шеңберіне $A$ және $B$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $S$ нүктесінде қиылысады. $M$ — $AB$ қабырғасының ортасы, ал $H$ — $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі болсын. $HA$ түзуі $CM$ және $CS$ түзулерін сәйкесінше ${{M}_{a}}$ және ${{S}_{a}}$ нүктелерінде қисын. Дәл сол сияқты ${{M}_{b}}$ және ${{S}_{b}}$ нүктелерін анықтаймыз. ${{M}_{a}}{{S}_{b}}$ және ${{M}_{b}}{{S}_{a}}$ – ${{M}_{a}}{{M}_{b}}H$ үшбұрышының биіктіктері екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №23. Центрі $I$ болатын, $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер, $BC$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанасын. $A_1I$ және $B_1I$ сәулелерінде $IA_2=IB_2=R$ болатындай сәйкесінше $A_2$ және $B_2$ нүктелері алынған, бұл жерде $R$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы. Олай болса:
a) $A{{A}_{2}}=B{{B}_{2}}=OI$, бұл жерде $O$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі;
b) $A{{A}_{2}}$ және $B{{B}_{2}}$ түзулері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №24. $\omega $ және $\Omega $ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $M$ нүктесі $\omega $ шеңберінің $AB$ доғасының ортасы болсын ($M$ нүктесі $\Omega $-ның ішінде жатыр). $\omega $ шеңберінің $MP$ хордасы $\Omega $ шеңберін $Q$ нүктесінде қияды ($Q$ нүктесі $\omega $-ның ішінде жатыр). ${{l}_{P}}$ — $\omega $ шеңберіне $P$ нүктесінде, ${{l}_{Q}}$ — $\Omega $ шеңберіне $Q$ нүктесінде жүргізілген жанамалар болсын. ${{l}_{P}}$, ${{l}_{Q}}$ және $AB$ түзулерінің қиылысуынан пайда болған үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер $\Omega $-ны жанайтынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №25. $ABC$ үшбұрышында $AD$ және $BE$ биіктіктері жүргізілген. $BEC$ бұрышының биссектрисасы $AD$-ны $M$ нүктесінде, ал $ADC$ бұрышының биссектрисасы $BE$-ны $N$ нүктесінде қияды. $MN\parallel AB$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №26. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қилысу нүктесі $H$, $AB$-ның ортасы $M$, ал $CH$-тың ортасы $N$ болсын. $AN$ мен $CM$ түзулері $L$ нүктесінде қилыссын. Егер $ABC$ үшбұрышының биіктігі $A{{A}_{1}}$ болса, $\angle L{{A}_{1}}C$ = $\angle ABH$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №27. $\omega$ шеңбері $ABCD$ төртбұрышына сырттай сызылған. $AB$ және $DC$ сәулелері $K$, ал $AD$ и $BC$ сәулелері $L$ нүктесінде қиылысады. $\omega$-ның центрі арқылы өтетін және $KL$-ге перпендикуляр түзу $KL$, $CD$ және $AD$ түзулерін сәйкесінше $P$, $Q$ және $R$ нүктелерінде қияды. $QL$, $BP$ және $KR$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №28. $ABC$ үшбұрышында $BK$ биссектрисасы жүргізілген. $ABK$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберіне $K$ нүктесінде жүргізілген жанама $BC$ қабырғасын $L$ нүктеде қияды. $AL$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $M$ нүктесінде қисын. $BM$ түзуінің $ KL$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №29. $f$ – кез келген квадратты үшмүшесі берілген. Арифметикалық прогрессияның қатар келген $({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ мүшелері үшін $F=\{f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),\ldots ,f({{x}_{n}})\}$ жиынының мүшелері де қандай да бір ретте арифметикалық прогрессияның қатар келген мүшелері болатындай $({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ сандары табыла ма? Егер: \par а) $n = 3$ болса; \par б) $n = 4$ болса. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №30. Центрі $O$ болатын $\omega $ шеңберіне $S$ нүктесінен $SA$ және $SB$ жанамалары жүргізілген. $\omega $ шеңберінде $AC \parallel OB$ және $CC’$ $\omega $-ның диаметрі болатындай $C$ мен $C’$ нүктелері алынған. $BC$ мен $SA$ түзулері $K$, ал $KC’$ пен $AC$ түзілері $M$ нүктесінде қиылыссын. Егер $BMK$ бұрышы тік болса, онда $MKC$ үшбұрышында $M$ нүктесінен түсірілген биіктік $C$ нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №31. $xOy$ координат жазықтығында $y={{x}^{2}}$ параболасы салынған. $A$, $B$ және $C$ берілген параболадағы әр түрлі нүктелер болсын. $BC$ түзуінің $Oy$ өсімен қиылысу нүктесін ${{A}_{1}}$ арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты ${{B}_{1}}$ мен ${{C}_{1}}$ нүктелері анықталсын. $A$, $B$ және $C$ нүктелерінен $Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысы ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінен $Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысынан үлкен екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №32. Теңбүйірлі $ABC$ $(BC=AC)$ үшбұрышының $BN$ биссектриссасында $BK=KC$ және $KN=NA$ болатындай $K$ нүктесі табылған. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №33. $n$ қандай да бір берілген натурал сан, ал $\{0,1,\ldots,{{n}^{2}}-1\}$ жиынындағы $m$ саны, қандай да болмасын бүтін $x$ және $y$ сандары үшін ${{x}^{n}}+{{y}^{n}}-m$ саны ${{n}^{2}}$-қа бөлінбейтін сан болсын. Осы шартты қанағаттандыратын $m$ санының саны $\dfrac{n(n-1)}{2}$-ден кем емес екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №34. Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы $\omega $ шеңберіне іштей сызылған. $H$ нүктесі осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы болсын. $\omega $-ның $C$ нүктесін қамтымайтын $AB$ доғасынан $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері алынған. $R$ және $S$ нүктелері, $H$ нүктесінен сәйкесінше $CQ$ және $CP$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары болсын. $P$, $Q$, $R$ және $S$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын, және $M$ нүктесі осы шеңбердің центрі болатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №35. $ABC$ үшбұрышының қабырғаларына үшбұрыштың сырт жағына қарай аудандары өзара тең болатын $ABLK$, $BCNM$ және $CAQP$ тіктөртбұрыштары салынған. $X$, $Y$ және $Z$ нүктелері сәйкесінше $KQ$, $LM$ және $NP$ кесінділерінің орталары. $AX$, $BY$ және $CZ$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №36. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрыштың $CN$ биссектрисасы $\omega$-ны екінші рет $M$ нүктесінде қисын. $MK$ — $BCM$ үшбұрышының биіктігі, $P$ нүктесі — $CM$ кесіндісінің ортасы, ал $Q$ — $OP$ мен $AB$ түзулерінің қиылысу нүктесі. $MQ$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $R$ нүктесінде қисын, ал $BR$ мен $MK$ түзулері $T$ нүктесінде қиылыссын. $NT \parallel PK$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №37. Сүйір бұрышты $ABC$ $(AC > BC)$ үшбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі. $DA$ сәулесінің $A$-дан ары созындысынан $K$, ал $BD$ кесіндісінен $L$ $(DL > LB)$ нүктелері $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған. $KL$ түзуінің $AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №38. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $CDB$ бұрышының биссектрисасы $AC$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қисын. $AB$ қабырғасынан $AK/BL=AM/BM$ болатындай $M$ нүктесі алынған. $KL$ және $DC$ түзулеріне $M$ нүктесінен түсірілген перпендикулярлар $AC$ және $DC$ түзулерін сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қисын. $CQP$ бұрышының $ACB$ бұрышынан екі есе кіші екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №39. Сүйір бұрышты $ABC$ $(AC > BC)$ үшбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі. $DA$ сәулесінің $A$-дан ары созындысынан $K$, ал $BD$ кесіндісінен $L$ $(DL > LB)$ нүктелері $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған. $KL$ түзуінің $AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №40. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген. $K$ және $N$ нүктелері $AC$ қабырғасындағы, ал $M$ және $L$ нүктелері $BC$ қабырғасындағы $AN=CK=CL=BM$ теңдіктері орындалатындай нүктелер. $KL$ және $MN$ кесінділері $P$ нүктесінде қиылыссын. $\angle RPN = \angle QPK$ теңдігін дәлелдеңіз, бұл жерде $R$ — $AB$ қабырғасының ортасы, ал $Q$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $ACB$ доғасының ортасы. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №41. Тікбұрышты теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышының $AC$ және $BC$ катеттерінен $AK/KC=4/1$ және $CL/BL=3/2$ болатындай сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелері алынған. $KML$ үшбұрышы да тікбұрышты теңбүйірлі болсын, ал $O$ оның $MK$ гипотенузасының ортасы болсын. Онда, $O$ нүктесі $ACB$ бұрышының сыртқы бұрышының немесе ішкі бұрышының биссектрисасында жататынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №42. Центрі $O$ болатын шеңберге $S$ нүктесінен $SA$ және $SB$ жанамалары жүргізілген. Шеңбер бойынан $A$-дан өзге, $AC$ және $SO$ түзулері параллель болатындай $C$ нүктесі алынған. $O$ нүктесі $BC$ түзуінде жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №43. Натурал $n$ санын 3-ке бөлгенде 1 қалдық береді, сондай-ақ оның 3-ке бөлгенде 1 қалдық беретін әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны тақ. Осындай, әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны 2017-ден кем болмайтындай $n$ санына мысал келтір. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №44. $ABC$ үшбұрышына сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиустары сәйкесінше $R$ және $r$, ал $I$ — оған іштей сызылған шеңбердің центрі болсын. ${{A}_{1}}$ арқылы $I$-дің $BC$ қабырғасының орта перпендикулярына қарағандағы симметриялы нүктені белгілейік. Дәл сол сияқты ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерін де анықтайық. $ABC$ және ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрыштарының ұқсас екенін дәлелдеңіз және ұқсастық коэффициентін табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №45. Центрі $O$ болатын шеңберге $A$ нүктесінен $AB$ жанамасы жүргізілген. Шеңбер бойынан $B$-дан өзге $AO\parallel BC$ болатындай $C$ нүктесі алынған. $ABCD$ параллелограмм болсын, және $M$ нүктесі оның диагоналдарының қиылысу нүктесі болсын. Онда $AB=2MO$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №46. ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ сандары $0,1,\ldots ,9$ цифрларының орын ауыстыруы болсын, және $M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$ болсын. $M$ санының ең үлкен және ең кіші мәндері қандай бола алады? Табылған жауаптарға мысал келтіріңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №47. $ABC$ үшбұрышында $\angle A=40{}^\circ $ және $\angle B=80{}^\circ $болсын. $AB$ қабырғасынан $AK=BL$ және $\angle KCL=30{}^\circ $ болатындай $K$ және $L$ нүктелері алынған ($K$ нүктесі $A$ мен $L$ нүктелерінің арасында орналасқан). $LCB$ бұрышын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №48. $a$, $b$, $x$, $y$ сандары үшін ${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$ теңсіздігі орындалатыны белгілі болса, мына теңсіздікті дәлелде: $ab+xy\ge ax+by.$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №49. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно взяты точки $N$, $K$ и $L$ так, что $AL=BK$ и $CN$ -- биссектриса угла $C$. Отрезки $AK$ и $BL$ пересекаются в точке $P$. Обозначим через $I$ и $J$ центры вписанных окружностей треугольников $APL$ и $BPK$ соответственно. Пусть $Q$ -- точка пересечения прямых $CN$ и $IJ$. Докажите, что $IP=JQ$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №50. Дан параллелограмм $ABCD$. Некоторая окружность проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $BD$ и $AC$ во второй раз соответственно в точках $X$ и $Y$, а описанная окружность треугольника $ADX$ пересекает отрезок $AC$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что отрезки $AY$ и $CZ$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №51. Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) пересекаются в точке $K$. На прямой $AD$ отмечены точки $L$ и $M$ так, что $A$ лежит на отрезке $LD$, $D$ лежит на отрезке $AM$, $AL=AK$ и $DM=DK$. Докажите, что прямые $CL$ и $BM$ пересекаются на биссектрисе угла $BKC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №52. В равнобокой трапеции $ABCD$ точка $O$ — середина основания $AD$. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $BO$ касается прямой $AB$. Пусть отрезок $AC$ пересекает эту окружность в точке $K$ ($C \ne K$), и пусть $M$ такая точка, что $ABCM$ — параллелограмм. Описанная окружность треугольника $CMD$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$ $(L \ne C)$. Докажите, что $AK=CL$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №53. На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ нашлась точка $M$ такая, что $BM=BC$. Пусть прямые $BM$ и $AC$ пересекаются в точке $K$, а прямые $DK$ и $BC$ — в точке $L$. Докажите, что углы $BML$ и $DAM$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №54. Диагонали вписанного выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $\ell$ — прямая, делящая угол $AOB$ пополам. Обозначим через $(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$ невырожденный треугольник, образованный прямыми $\ell_1,\ell_2,\ell_3$. Пусть $\Delta_1=(\ell,AB,CD)$ и $\Delta_2=(\ell,AD,BC)$. Докажите, что описанные окружности треугольников $\Delta_1$ и $\Delta_2$ касаются друг друга. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №55. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AB$, $BC$ және $AC$ қабырғаларынан сәйкесінше $H$, $L$ және $K$ нүктелері ${CH \perp AB}$, ${HL \parallel AC}$ және ${HK \parallel BC}$ болатындай алынған. $P$ және $Q$ нүктелері — $HBL$ үшбұрышының сәйкесінше $H$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары. $AKH$ үшбұрышының $A$ және $H$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары $PQ$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №56. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $N$. На лучах $CA$ и $CB$ соответственно отмечены точки $P$ и $Q$ так, что $PM \parallel BN$ и $QM \parallel AN$. На отрезках $PM$ и $QM$ соответственно отмечены точки $X$ и $Y$ так, что прямые $PY$ и $QX$ касаются $\omega$. Отрезки $PY$ и $QX$ пересекаются в точке $Z$. Докажите, что четырехугольник $MXZY$ описанный. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №57. Теріс емес $x, y$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: $$\sqrt{x^2 - x + 1}\sqrt{y^2 - y + 1} + \sqrt{x^2 + x + 1}\sqrt{y^2 + y + 1} \ge 2(x + y).$$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада
Есеп №58. Дан вписанный выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Окружность с центром в точке $E$ и радиусом $AE$ пересекает отрезки $AC$ и $AD$ в $X$ и $Y$ соответственно, а окружность с центром в точке $C$ радиусом $BC$ пересекает отрезки $BE$ и $BD$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Прямые $XY$ и $ZT$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что $DF$ и $EC$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №59. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ симметрична точке $C$ относительно гипотенузы $AB$. Пусть $M$ — произвольная точка отрезка $AC$, а $P$ — основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $BM$. Точка $H$ — середина отрезка $CD$. На отрезке $CH$ (внутри угла $HPB$) нашлась такая точка $N$ , что $\angle DPH = \angle NPB$. Докажите, что точки $M$, $P$, $N$ и $D$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №60. Сүйірбұрышты, теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышының биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $C_1H$ кесіндісінде $K$ нүктесі белгіленген, бұл жерде $CC_1$ — үшбұрыштың биіктігі. $L$ және $M$ нүктелері $K$ нүктесінен сәйкесінше $AC$ және $BC$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары. $AM$ және $BL$ түзулері $N$ нүктесінде қиылысады. $\angle ANK=\angle HNL$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №61. На отрезке $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Пусть $I$, $K$, $L$ — соответственно центры вписанных окружностей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ треугольников $ABC$, $ABM$, $ACM$. Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_2$ и $\omega_3$, отличная от прямой $BC$, пересекает отрезок $AM$ в точке $J$. Известно, что точки $I$ и $J$ не совпадают и лежат внутри $\triangle AKL$. Докажите, что в треугольнике $AKL$ точки $I$ и $J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки $P$ и $P'$ треугольника $ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если $\angle ABP=\angle CBP'$, $\angle BAP = \angle CAP'$, $\angle BCP=\angle ACP'$.) ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №62. В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $CN$ — биссектриса. Прямая $CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $M$. Прямая $\ell$ параллельна прямой $AB$ и касается вписанной окружности треугольника $ABC$. Точка $R$ на прямой $\ell$ такова, что $CI \perp IR$. Описанная окружность треугольника $MNR$ вторично пересекает прямую $IR$ в точке $S$. Докажите, что $AS=BS$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №63. $ABC$ үшбұрышының $CM$ медианасында $AB^2=4 \cdot MN \cdot MC$ болатындай $N$ нүктесі белгіленген. $AN$ және $BN$ түзулері $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $R$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NRC = \angle BNC$ теңдігі орындалатындай $Q$-ға ең жақын нүкте; $S$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NSC = \angle ANC$ теңдігі орындалатындай $P$-ға ең жақын нүкте. $RN = SN$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №64. $ABC$ үшбұрышының $CM$ медианасында $AB^2=4 \cdot MN \cdot MC$ болатындай $N$ нүктесі белгіленген. $AN$ және $BN$ түзулері $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $R$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NRC = \angle BNC$ теңдігі орындалатындай $Q$-ға ең жақын нүкте; $S$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NSC = \angle ANC$ теңдігі орындалатындай $P$-ға ең жақын нүкте. $RN = SN$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №65. Шексіз және қатаң өспелі $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал $n$ саны үшін $a_n \leq n+2020$ екені және $n^3 a_n - 1$ саны $a_{n+1}$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал $n$ үшін $a_n = n$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №66. Іштей сызылған дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышында $BC=EF$ және $CD=AF$. $AC$ және $BF$ диагоналдары $Q$ нүктесінде, ал $EC$ және $DF$ диагоналдары $P$ нүктесінде қиылысады. $DF$ және $BF$ кесінділерінде сәйкесінше $R$ және $S$ нүктелері $FR=PD$ және $BQ=FS$ болатындай белгіленген. $RQ$ және $PS$ кесінділері $T$ нүктесінде қиылысады. $TC$ түзуі $DB$ диагоналін қақ ортасынан бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №67. $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ үшбұрышының $BC$ катетінде $\angle CAK =\angle KAL =\angle LAB$ болатындай $K$ және $L$ нүктелері белгіленген. $AB$ гипотенузасында $M$ нүктесі $ML = KL$ болатындай нүкте. $C$ нүктесінен $AK$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр $ML$ кесіндісін екі тең бөлікке бөлмейтінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №68. $ABC$ үшбұрышында $\angle ACB+\angle AKL=50{}^\circ $ және $\angle ABC+\angle ALK=70{}^\circ $ болатындай $AB$ қабырғасынан $K$ нүктесі, ал $AC$ қабырғасынан $L$ нүктесі алынған. $BAC$ бұрышының өлшемі қанша бола алады? ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №69. $ABCD$ трапециясының $(AD \parallel BC)$ диагональдары $K$ нүктесінде қиылысады. $ABK$ үшбұрышының ішінде $\angle MBC = \angle MAD,$ $\angle MCB = \angle MDA$ болатындай $M$ нүктесі алынған. $MK \parallel AD$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №70. $ABCD$ дөңес төртбұрышының $AB$ және $CD$ қабырғаларының созындысы $P$ нүктесінде, ал $AC$ және $BD$ диагональдері $Q$ нүктесінде қиылысады. $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше $AC$ және $BD$ диагональдерінің орталары. $BCQ$ және $MNQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $T$ ($T\ne Q$) нүктесінде қиылысады. Егер $\angle APD =90^\circ$ болса, онда $PT$ түзуі $MN$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №71. $ABC$ ($AC > BC$) үшбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың $CN$ биссектрисасы $\omega$--ны $M$ ($M\ne C$) нүктесінде қияды. $BN$ кесіндісінің бойында кез келген $T$ нүктесі белгіленген. $H$ нүктесі — $MNT$ үшбұрышының ортоцентрі болсын. $MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $\omega$--ны $R$ ($R\ne M$) нүктесінде қияды. $\angle ACT = \angle BCR$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №72. $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасында $BC=DC$ болатындай $D$ нүктесі табылсын. $J$ нүктесі — $ABD$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі. $J$ нүктесінен $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанамалардың біреуі $BD$ түзуіне параллель екенін дәледеңіз ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №73. $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AB$ қабырғасының ортасы. $AC$ кесіндісінде $CB=CB_1$ болатындай $B_1$ нүктесі белгіленген. $ABC$ және $BMB_1$ үшбұрыштарына сырттай сызылған сәйкесінше $\omega$ және $\omega_1$ шеңберлері екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $Q$ нүктесі — $\omega$ шеңберіндегі $ACB$ доғаның ортасы. $B_1Q$ және $BC$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $KC$ түзуінің $B_1E$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №74. В окружности $\omega$ диаметр $AB$ и хорда $CD$ перпендикулярны. Пусть $M$ любая точка отрезка $AC$. Точка $P$ -- основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $BM$. Пусть окружность $\omega_1$, описанная около треугольника $MPD$, пересекает описанную окружность треугольника $CPB$ во второй раз в точке $Q$ (точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от прямой $AB$). Прямая $CD$ вторично $\omega_1$ в точке $N$. Докажите, что $\angle CQN = \angle BPN$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №75. $C$ бұрышы доғал болатын теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышы берілген. $AC$ қабырғасының ($C$ нүктесінен ары қарайғы) созындысынан $\angle KBC = \angle ABC$ болатындай етіп $K$ нүктесі алынған. $\angle BKC$ және $\angle ACB$ бұрыштарының биссектрисаларының қиылысуы $S$ нүктесі болсын. $AB$ және $KS$ түзулері $L$ нүктесінде, ал $BS$ және $CL$ түзулері $M$ нүктесінде қиылыссын. $KM$ түзуі $BC$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №76. В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $A$ на отрезке $AD$ отмечена точка $N$, а на отрезке $CN$ — точка $M$ так, что $AB=BM=CM$. Точка $K$ симметрична точке $N$ относительно прямой $MD$. Прямая $MK$ пересекает отрезок $AD$ в точке $L$. Пусть $P$ — общая точка описанных окружностей треугольников $AMD$ и $CNK$, причем точки $A$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $MK$. Докажите, что $\angle CPM=\angle DPL$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №77. В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а $I$ — центр вписанной окружности. Точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BI$, а точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AI$. Пусть $N$ — середина отрезка $A_1B_1$. Докажите, что $IN > IM$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №78. $C$ төбесіндегі бұрышы $100 ^\circ $ болатын $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасынан $AP=BC$ және $BQ=AC$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері алынған. $M$, $N$, $K$ нүктелері сәкесінше $AB$, $CP$, $CQ$ кесінділерінің орталары болсын. $NMK$ бұрышын анықтаңдар. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №79. $\omega$ шеңберіне дөңес $ABCD$ төртбұрышы іштей сызылған. $AB$ және $DC$ сәулелері $K$ нүктесінде қиылысады. $BD$ диагональында $\angle BAC = \angle DAL$ болатындай $L$ нүктесі алынған. $KL$ кесіндісінде $CM \parallel BD$ болатындай $M$ нүктесі белгіленген. $BM$ түзуі $\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №80. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\Omega$ шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $D$ арқылы өтететін түзу $AC$ және $BC$ қабырғаларын, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $AB$ қабырғасынан $AC \parallel NL$, $BC \parallel KM$ болатындай $M$ және $N$ нүктелері белгіленген. $NL$ және $KM$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады ($P$ $\triangle ABC$-ның ішінде жатыр). $CP$ түзуі $MNP$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $Q$ нүктесінде қияды. $DQ$ түзуі $\omega$-ны жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №81. \q1 $ABC$ үшбұрышының іштейсырт сызылған шеңбері $AB$ қабырғасын $M$, ал $AC$ және $BC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше, $N$ және $K$ нүктелерінде жанайды. $NK$ кесіндісінде $P$ және $Q$ нүктелері $AN=AP$ және $BK=BQ$ болатындай алынған. $MPQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусына тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №82. Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған ($\angle C > 90^\circ$ және $AC>BC$). $\omega$-ға $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $\Omega$ — $AOB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $OD$ және $AC$ түзулері $\Omega$-ны екінші рет, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $OF$ және $CE$ түзулері $T$, ал $OD$ және $BC$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $O$, $T$, $B$, $K$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №83. Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған ($\angle C > 90^\circ$ және $AC>BC$). $\omega$-ға $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $\Omega$ — $AOB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $OD$ және $AC$ түзулері $\Omega$-ны екінші рет, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $OF$ және $CE$ түзулері $T$, ал $OD$ және $BC$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $O$, $T$, $B$, $K$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №84. $\Omega$ және $\Gamma$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. Осы шеңберлердің центрлері арқылы өтетін түзу $\Omega$ және $\Gamma$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды (мұнда $P$ және $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр әрі $Q$ нүктесі $P$-ға қарағанда $AB$-ға жақынырақ орналасқан). $\delta$ шеңбері $AB$ кесіндісін $D$, ал $\Gamma$-ны $T$ нүктесінде жанайды (мұнда $\delta$ шеңбері және $P$, $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр). $PD$ түзуі $\delta$-ны екінші рет $K$, ал $\Omega$-ны екінші рет $L$ нүктесінде қияды. $\angle QTK=\angle DTL$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №85. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AD$ биіктігі жүргізілген. $H$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтетін $\Omega$ шеңбері $AC$ түзуін жанайды. $BE$ кесіндісі $\Omega$-ның диаметрі болсын. $BH$ және $AH$ түзулері $\Omega$-ны екінші рет, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $EK$ және $AB$ түзулері $T$ нүктесінде қиылыссын. $\angle BDK=\angle BLT$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №86. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AD$ биіктігі жүргізілген. $H$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтетін $\Omega$ шеңбері $AC$ түзуін жанайды. $BE$ кесіндісі $\Omega$-ның диаметрі болсын. $BH$ және $AH$ түзулері $\Omega$-ны екінші рет, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $EK$ және $AB$ түзулері $T$ нүктесінде қиылыссын. $\angle BDK=\angle BLT$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №87. Теңбүйірлі емес $ABCD$ ($AB \parallel DC$) трапециясы берілген. $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтетін қандай да бір шеңбер $AD$ және $BC$ қабырғаларын, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AF$ және $BE$ кесінділері $G$, ал $ADG$ және $BCG$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $H$ нүктесінде қиылысады. Егер $DG=CG$ болса, онда $H$ нүктесі $ABG$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада