М. Кунгожин


Есеп №1. Теңбүйірлі ABC үшбұрышында H нүктесі — AB табанының ортасы, ал MBH кесіндісінің ортасы. HKACH үшбұрышының биіктігі, ал CM және BK түзулері L нүктесінде қиылысады. BC түзуіне B нүктесінде жүргізілген перпендикуляр мен LH түзуі N нүктесінде қиылысады. BCN бұрышының өлшемі ACB бұрышының өлшемінен екі есе кіші екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №2. ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер BC және AC қабырғаларын A1 және B1 нүктелерінде жанайды, ал AB қабырғасына сәйкес келетін іштейсырт сызылған шеңбер сол қабырғалардың созындысын сәйкесінше A2 және B2 нүктелерінде жанайды. Іштей сызылған шеңбер AB қабырғасын K нүктесінде жанасын. Oa және Ob — сәйкесінше A1A2K және B1B2K үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын. OaOb түзуі AB кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. ABC үшбұрышына сырттай ω шеңбер сызылған, ал I нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі. CI түзуі ω-ны екінші рет P нүктесінде қияды. Диаметрі IP болатын шеңбер, AI, BI және ω-ны екінші рет сәйкесінше M, N және K нүктелерінде қияды. KN және AB кесінділері B1, ал KM және AB кесінділері A1 нүктесінде қиылыссын. ACB=A1IB1 теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №4. ABC үшбұрышында ең үлкен C бұрышынан CH биіктігі түсірілген. HM және HN — сәйкесінше ACH және BCH үшбұрыштарының биіктіктері, ал HP және HQ — сәйкесінше AMH және BNH үшбұрыштарының биссектрисалары. R нүктесі — H нүктесінен PQ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. R нүктесі — MNH үшбұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. ABC үшбұрышына сырттай ω шеңбер сызылған, ал I нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі. CI түзуі ω-ны екінші рет P нүктесінде қияды. Диаметрі IP болатын шеңбер, AI, BI және ω-ны екінші рет сәйкесінше M, N және K нүктелерінде қияды. KN және AB кесінділері B1, ал KM және AB кесінділері A1 нүктесінде қиылыссын. ACB=A1IB1 теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №6. ABC үшбұрышында NC бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, MAB қабырғасының ортасы, ал ω — оған сырттай сызылған шеңбер. CN түзуі ω-ны екінші рет D нүктесінде қияды. AD және BD кесінділерінен ACK=BCLболатындай сәйкесінше K және L нүктелері алынған. ACK және BCL үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет P нүктесінде, ал DM және KL түзулері Q нүктелерінде қиылысады. M,N,P,Q нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №7. Дөңес ABCD төртбұрышы берілген. K және M — сәйкесінше BC және AD қабырғаларының орталары. AK және BM кесінділері N, ал KD және CM кесінділері L нүктелерінде қиылыссын. Пайда болған KLMN төртбұрышы іштей сызылғаны белгілі. BNK және AMN үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет Q, ал KLC және DML үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет P нүктелерінде қиылыссын. KLMN және KPMQ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №8. Екі ω1 және ω2 шеңберлері және олардың ортақ AB және CD сыртқы жанамалары берілген (A және C нүктелері ω1, B және D нүктелері ω2 шеңберлерінде жатыр). AD түзуі ω1 шеңберін екінші рет P нүктесінде, ал ω2 шеңберін Q нүктесінде қияды. ω1-ге P нүктесінде жүргізілген жанама AB түзуін R, ал ω2-ге Q нүктесінде жүргізілген жанама CD түзуін S нүктелерінде қияды. MRS кесіндісінің ортасы болсын. MP=MQ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №9. ABC үшбұрышына сырттай сызылған ω шеңбері ABCD параллелограмының AD және DC қабырғаларын екінші рет сәйкесінше A1 және C1 нүктелерінде қияды. AC және A1C1 түзулері E нүктесінде қиылыссын. BFω-ның диаметі, ал O1 нүктесі — ω-ның центріне AC-ға қарағанда симметриялы нүкте. FO1 және DE түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №10. ABC үшбұрышында N нүктесі — B бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал M нүктесі — AC қабырғасының ортасы. BD кесіндісінде DA=DA1 және DC=DC1 болатындай A1 және C1 нүктелері табылған. AA1 және CC1 түзулері E нүктесінде қиылысады. ME түзуі BC кесіндісін F нүктесінде қияды. AB+BF=CF теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №11. Тікбұрышты ABC үшбұрышының (C бұрышы тік) іштей және іштейсырт сызылған шеңберлері BC қабырғасын сәйкесінше A1 және A2 нүктелерінде жанайды. Тағы сол сияқты B1 және B2 нүктелерін анықтаймыз. A1B2 және B1A2 кесінділері ABC үшбұрышының C төбесінен түсірілген биіктікте қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №12. Теңбүйірлі емес ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер AB мен BC қабырғаларын сәйкесінше C1 мен A1, ал іштейсырт сызылған шеңбер (AC қабырғасын жанайтын) AB мен BC қабырғаларын сәйкесінше C2 мен A2 нүктелерінде жанайды. N нүктесі B төбесінен жүргізілген биссектриса табаны. A1C1 және A2C2 түзулері AC түзуін сәйкесінше K1 және K2 нүктелерінде қияды. BK1N және BK2N үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше P1 және P2 нүктелерінде қисын. AP1=CP2 екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №13. Теңбүйірлі емес ABC үшбұрышында MAC қабырғасының ортасы, ал ω — оған сырттай сызылған шеңбер. ω-ға B нүктесінде жүргізілген жанама AC түзуін N, ал BM түзуі ω-ны екінші рет L нүктесінде қияды. P нүктесі L нүктесіне M-ге қарағанда симметриялы нүкте болсын. BPN үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер екінші рет AN түзуін Q нүктесінде қияды. ABP=QBC екенін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(13) олимпиада
Есеп №14. Дөңес ABCD төртбұрышында AB=BC, AD=BD және ADB=2BDC екені белгілі. Егер ACD=100 болса, онда ADC бұрышын табындар. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №15. ABC берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер AB, BC және AC қабырғаларын сәйкесінше C1, A1 және B1 нүктелерінде жанасын. 1/AC1+1/BC1=2/CA1 теңдігі орындалатыны белгілі болса, CC1 кесіндісі іштей сызылған шеңбермен C төбесінен санағанда 1:2 қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №16. ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі O, ал оған іштей сызылған шеңбер центрі I болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан IA1B=IA1C және IB1A=IB1C болатындай A1 (AA1) және B1 (BB1) нүктелері алынсын. AA1 және BB1 түзулері OI түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №17. ABC берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер AB, BC және AC қабырғаларын сәйкесінше C1, A1 және B1 нүктелерінде жанасын. 1/AC1+1/BC1=2/CA1 теңдігі орындалатыны белгілі болса, CC1 кесіндісі іштей сызылған шеңбермен C төбесінен санағанда 1:2 қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №18. Іштей сызылған дөңес ABCD төртбұрышының диагональдары P, ал AB және CD түзулері K нүктесінде қиылыссын. AB және CD қабырғаларынан AM/MB=CN/ND болатындай сәйкесінше M және N нүктелері алынсын. MN ABCD-ның диагональдарын Q және R нүктелерінде қисын. PRQ және KMN үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жазықтықтың бір тұрақты нүктесінде жанасатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №19. ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі O, ал оған іштей сызылған шеңбер центрі I болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан IA1B=IA1C және IB1A=IB1C болатындай A1 (AA1) және B1 (BB1) нүктелері алынсын. AA1 және BB1 түзулері OI түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №20. ω шеңбері C бұрышы доғал болатын ABC үшбұрышына сырттай сызылған, ал CAB-ға қарағанда C нүктесіне симметриялы, MAB-ның ортасы, CM түзуі ω-ны N нүктесінде қиып өтеді (C нүктесі M мен N-нің арасында жатыр). BC және AC түзулері ω-ны екінші рет сәйкесінше F және E нүктелерінде қиып өтеді, ал K нүктесі — EF-тің ортасы. AB, CN және KC түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №21. Сүйірбұрышты ABC үшбұрышы шеңберге іштей сызылған (AC>CB), ал N нүктесі — осы шеңбердің ACB доғасының ортасы. A1 және B1 нүктелері — сәйкесінше A және B нүктелерінен NC түзуіне түсірілген перпендикулярлар табандары болсын (NC кесіндісі A1B1 кесіндісінің ішінде жатыр). A1AC үшбұрышының A1A2 биіктігі және B1BC үшбұрышының B1B2 биіктігі K нүктесінде қиылыссын. Егер M нүктесі — A2B2 кесіндісінің ортасы болса, онда A1KN=B1KM теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №22. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты ABC үшбұрышының сырттай сызылған ω шеңберіне A және B нүктелерінде жүргізілген жанамалар S нүктесінде қиылысады. MAB қабырғасының ортасы, ал HABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі болсын. HA түзуі CM және CS түзулерін сәйкесінше Ma және Sa нүктелерінде қисын. Дәл сол сияқты Mb және Sb нүктелерін анықтаймыз. MaSb және MbSaMaMbH үшбұрышының биіктіктері екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №23. Центрі I болатын, ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер, BC және AC қабырғаларын сәйкесінше A1 және B1 нүктелерінде жанасын. A1I және B1I сәулелерінде IA2=IB2=R болатындай сәйкесінше A2 және B2 нүктелері алынған, бұл жерде RABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы. Олай болса:
a) AA2=BB2=OI, бұл жерде OABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі;
b) AA2 және BB2 түзулері ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №24. ω және Ω шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады. M нүктесі ω шеңберінің AB доғасының ортасы болсын (M нүктесі Ω-ның ішінде жатыр). ω шеңберінің MP хордасы Ω шеңберін Q нүктесінде қияды (Q нүктесі ω-ның ішінде жатыр). lPω шеңберіне P нүктесінде, lQΩ шеңберіне Q нүктесінде жүргізілген жанамалар болсын. lP, lQ және AB түзулерінің қиылысуынан пайда болған үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер Ω-ны жанайтынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №25. ABC үшбұрышында AD және BE биіктіктері жүргізілген. BEC бұрышының биссектрисасы AD-ны M нүктесінде, ал ADC бұрышының биссектрисасы BE-ны N нүктесінде қияды. MNAB екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №26. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты ABC үшбұрышының биіктіктерінің қилысу нүктесі H, AB-ның ортасы M, ал CH-тың ортасы N болсын. AN мен CM түзулері L нүктесінде қилыссын. Егер ABC үшбұрышының биіктігі AA1 болса, LA1C = ABH екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №27. ω шеңбері ABCD төртбұрышына сырттай сызылған. AB және DC сәулелері K, ал AD и BC сәулелері L нүктесінде қиылысады. ω-ның центрі арқылы өтетін және KL-ге перпендикуляр түзу KL, CD және AD түзулерін сәйкесінше P, Q және R нүктелерінде қияды. QL, BP және KR түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №28. ABC үшбұрышында BK биссектрисасы жүргізілген. ABK үшбұрышына сырттай сызылған ω шеңберіне K нүктесінде жүргізілген жанама BC қабырғасын L нүктеде қияды. AL түзуі ω-ны екінші рет M нүктесінде қисын. BM түзуінің KL кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №29. f – кез келген квадратты үшмүшесі берілген. Арифметикалық прогрессияның қатар келген (x1,x2,,xn) мүшелері үшін F={f(x1),f(x2),,f(xn)} жиынының мүшелері де қандай да бір ретте арифметикалық прогрессияның қатар келген мүшелері болатындай (x1,x2,,xn) сандары табыла ма? Егер: \par а) n=3 болса; \par б) n=4 болса. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №30. Центрі O болатын ω шеңберіне S нүктесінен SA және SB жанамалары жүргізілген. ω шеңберінде ACOB және CC ω-ның диаметрі болатындай C мен C нүктелері алынған. BC мен SA түзулері K, ал KC пен AC түзілері M нүктесінде қиылыссын. Егер BMK бұрышы тік болса, онда MKC үшбұрышында M нүктесінен түсірілген биіктік C нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №31. xOy координат жазықтығында y=x2 параболасы салынған. A, B және C берілген параболадағы әр түрлі нүктелер болсын. BC түзуінің Oy өсімен қиылысу нүктесін A1 арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты B1 мен C1 нүктелері анықталсын. A, B және C нүктелерінен Ox өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысы A1, B1 және C1 нүктелерінен Ox өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысынан үлкен екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №32. Теңбүйірлі ABC (BC=AC) үшбұрышының BN биссектриссасында BK=KC және KN=NA болатындай K нүктесі табылған. ABC үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №33. n қандай да бір берілген натурал сан, ал {0,1,,n21} жиынындағы m саны, қандай да болмасын бүтін x және y сандары үшін xn+ynm саны n2-қа бөлінбейтін сан болсын. Осы шартты қанағаттандыратын m санының саны n(n1)2-ден кем емес екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №34. Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты ABC үшбұрышы ω шеңберіне іштей сызылған. H нүктесі осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал M нүктесі AB қабырғасының ортасы болсын. ω-ның C нүктесін қамтымайтын AB доғасынан ACP=BCQ<ACQ болатындай P және Q нүктелері алынған. R және S нүктелері, H нүктесінен сәйкесінше CQ және CP түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары болсын. P, Q, R және S нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын, және M нүктесі осы шеңбердің центрі болатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №35. ABC үшбұрышының қабырғаларына үшбұрыштың сырт жағына қарай аудандары өзара тең болатын ABLK, BCNM және CAQP тіктөртбұрыштары салынған. X, Y және Z нүктелері сәйкесінше KQ, LM және NP кесінділерінің орталары. AX, BY және CZ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №36. Теңбүйірлі емес ABC үшбұрышы центрі O болатын ω шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрыштың CN биссектрисасы ω-ны екінші рет M нүктесінде қисын. MKBCM үшбұрышының биіктігі, P нүктесі — CM кесіндісінің ортасы, ал QOP мен AB түзулерінің қиылысу нүктесі. MQ түзуі ω-ны екінші рет R нүктесінде қисын, ал BR мен MK түзулері T нүктесінде қиылыссын. NTPK екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №37. Сүйір бұрышты ABC (AC>BC) үшбұрышы центрі O болатын шеңберге іштей сызылған. CD кесіндісі осы шеңбердің диаметрі. DA сәулесінің A-дан ары созындысынан K, ал BD кесіндісінен L (DL>LB) нүктелері OKD=BAC, OLD=ABC болатындай алынған. KL түзуінің AB кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №38. Теңбүйірлі емес ABC үшбұрышы ω шеңберіне іштей сызылған. Осы шеңберге C нүктесінде жүргізілген жанама AB түзуін D нүктесінде қияды. CDB бұрышының биссектрисасы AC және BC қабырғаларын сәйкесінше K және L нүктелерінде қисын. AB қабырғасынан AK/BL=AM/BM болатындай M нүктесі алынған. KL және DC түзулеріне M нүктесінен түсірілген перпендикулярлар AC және DC түзулерін сәйкесінше P және Q нүктелерінде қисын. CQP бұрышының ACB бұрышынан екі есе кіші екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №39. Сүйір бұрышты ABC (AC>BC) үшбұрышы центрі O болатын шеңберге іштей сызылған. CD кесіндісі осы шеңбердің диаметрі. DA сәулесінің A-дан ары созындысынан K, ал BD кесіндісінен L (DL>LB) нүктелері OKD=BAC, OLD=ABC болатындай алынған. KL түзуінің AB кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №40. Теңбүйірлі емес ABC үшбұрышы берілген. K және N нүктелері AC қабырғасындағы, ал M және L нүктелері BC қабырғасындағы AN=CK=CL=BM теңдіктері орындалатындай нүктелер. KL және MN кесінділері P нүктесінде қиылыссын. RPN=QPK теңдігін дәлелдеңіз, бұл жерде RAB қабырғасының ортасы, ал QABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің ACB доғасының ортасы. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №41. Тікбұрышты теңбүйірлі ABC үшбұрышының AC және BC катеттерінен AK/KC=4/1 және CL/BL=3/2 болатындай сәйкесінше K және L нүктелері алынған. KML үшбұрышы да тікбұрышты теңбүйірлі болсын, ал O оның MK гипотенузасының ортасы болсын. Онда, O нүктесі ACB бұрышының сыртқы бұрышының немесе ішкі бұрышының биссектрисасында жататынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №42. Центрі O болатын шеңберге S нүктесінен SA және SB жанамалары жүргізілген. Шеңбер бойынан A-дан өзге, AC және SO түзулері параллель болатындай C нүктесі алынған. O нүктесі BC түзуінде жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №43. Натурал n санын 3-ке бөлгенде 1 қалдық береді, сондай-ақ оның 3-ке бөлгенде 1 қалдық беретін әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны тақ. Осындай, әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны 2017-ден кем болмайтындай n санына мысал келтір. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №44. ABC үшбұрышына сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиустары сәйкесінше R және r, ал I — оған іштей сызылған шеңбердің центрі болсын. A1 арқылы I-дің BC қабырғасының орта перпендикулярына қарағандағы симметриялы нүктені белгілейік. Дәл сол сияқты B1 және C1 нүктелерін де анықтайық. ABC және A1B1C1 үшбұрыштарының ұқсас екенін дәлелдеңіз және ұқсастық коэффициентін табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №45. Центрі O болатын шеңберге A нүктесінен AB жанамасы жүргізілген. Шеңбер бойынан B-дан өзге AOBC болатындай C нүктесі алынған. ABCD параллелограмм болсын, және M нүктесі оның диагоналдарының қиылысу нүктесі болсын. Онда AB=2MO екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №46. a1,a2,,a10 сандары 0,1,,9 цифрларының орын ауыстыруы болсын, және M=(a1+a2++a5)(a6+a7++a10) болсын. M санының ең үлкен және ең кіші мәндері қандай бола алады? Табылған жауаптарға мысал келтіріңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №47. ABC үшбұрышында A=40 және B=80болсын. AB қабырғасынан AK=BL және KCL=30 болатындай K және L нүктелері алынған (K нүктесі A мен L нүктелерінің арасында орналасқан). LCB бұрышын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №48.  a, b, x, y сандары үшін (ab)3+(xy)3(ax)3+(by)3 теңсіздігі орындалатыны белгілі болса, мына теңсіздікті дәлелде: ab+xyax+by. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №49.  На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC соответственно взяты точки N, K и L так, что AL=BK и CN -- биссектриса угла C. Отрезки AK и BL пересекаются в точке P. Обозначим через I и J центры вписанных окружностей треугольников APL и BPK соответственно. Пусть Q -- точка пересечения прямых CN и IJ. Докажите, что IP=JQ. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №50.  Дан параллелограмм ABCD. Некоторая окружность проходит через точки A и B и пересекает отрезки BD и AC во второй раз соответственно в точках X и Y, а описанная окружность треугольника ADX пересекает отрезок AC во второй раз в точке Z. Докажите, что отрезки AY и CZ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №51.  Диагонали трапеции ABCD (ADBC) пересекаются в точке K. На прямой AD отмечены точки L и M так, что A лежит на отрезке LD, D лежит на отрезке AM, AL=AK и DM=DK. Докажите, что прямые CL и BM пересекаются на биссектрисе угла BKC. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №52.  В равнобокой трапеции ABCD точка O — середина основания AD. Окружность с центром в точке O и радиусом BO касается прямой AB. Пусть отрезок AC пересекает эту окружность в точке K (CK), и пусть M такая точка, что ABCM — параллелограмм. Описанная окружность треугольника CMD пересекает отрезок AC в точке L (LC). Докажите, что AK=CL. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №53.  На боковой стороне CD трапеции ABCD нашлась точка M такая, что BM=BC. Пусть прямые BM и AC пересекаются в точке K, а прямые DK и BC — в точке L. Докажите, что углы BML и DAM равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №54.  Диагонали вписанного выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть — прямая, делящая угол AOB пополам. Обозначим через (1,2,3) невырожденный треугольник, образованный прямыми 1,2,3. Пусть Δ1=(,AB,CD) и Δ2=(,AD,BC). Докажите, что описанные окружности треугольников Δ1 и Δ2 касаются друг друга. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №55. Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AB, BC және AC қабырғаларынан сәйкесінше H, L және K нүктелері CHAB, HLAC және HKBC болатындай алынған. P және Q нүктелері — HBL үшбұрышының сәйкесінше H және B төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары. AKH үшбұрышының A және H төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары PQ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №56.  Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность ω в точке N. На лучах CA и CB соответственно отмечены точки P и Q так, что PMBN и QMAN. На отрезках PM и QM соответственно отмечены точки X и Y так, что прямые PY и QX касаются ω. Отрезки PY и QX пересекаются в точке Z. Докажите, что четырехугольник MXZY описанный. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №57. Теріс емес x,y сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: x2x+1y2y+1+x2+x+1y2+y+12(x+y).
( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада
Есеп №58.  Дан вписанный выпуклый пятиугольник ABCDE. Окружность с центром в точке E и радиусом AE пересекает отрезки AC и AD в X и Y соответственно, а окружность с центром в точке C радиусом BC пересекает отрезки BE и BD в точках Z и T соответственно. Прямые XY и ZT пересекаются в точке F. Докажите, что DF и EC перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №59.  В прямоугольном треугольнике ABC точка D симметрична точке C относительно гипотенузы AB. Пусть M — произвольная точка отрезка AC, а P — основание перпендикуляра из точки C на прямую BM. Точка H — середина отрезка CD. На отрезке CH (внутри угла HPB) нашлась такая точка N , что DPH=NPB. Докажите, что точки M, P, N и D лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №60. Сүйірбұрышты, теңбүйірлі емес ABC үшбұрышының биіктіктері H нүктесінде қиылысады. C1H кесіндісінде K нүктесі белгіленген, бұл жерде CC1 — үшбұрыштың биіктігі. L және M нүктелері K нүктесінен сәйкесінше AC және BC түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары. AM және BL түзулері N нүктесінде қиылысады. ANK=HNL теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №61.  На отрезке BC треугольника ABC отмечена точка M. Пусть I, K, L — соответственно центры вписанных окружностей ω1, ω2, ω3 треугольников ABC, ABM, ACM. Общая внешняя касательная к окружностям ω2 и ω3, отличная от прямой BC, пересекает отрезок AM в точке J. Известно, что точки I и J не совпадают и лежат внутри AKL. Докажите, что в треугольнике AKL точки I и J изогонально сопряжены. (Внутренние точки P и P треугольника ABC называются изогонально сопряжёнными, если ABP=CBP, BAP=CAP, BCP=ACP.) ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №62.  В неравнобедренном треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, а CN — биссектриса. Прямая CN вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке M. Прямая параллельна прямой AB и касается вписанной окружности треугольника ABC. Точка R на прямой такова, что CIIR. Описанная окружность треугольника MNR вторично пересекает прямую IR в точке S. Докажите, что AS=BS. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №63. ABC үшбұрышының CM медианасында AB2=4MNMC болатындай N нүктесі белгіленген. AN және BN түзулері ABC-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше P және Q нүктелерінде қияды. R нүктесі — PQ кесіндісіндегі NRC=BNC теңдігі орындалатындай Q-ға ең жақын нүкте; S нүктесі — PQ кесіндісіндегі NSC=ANC теңдігі орындалатындай P-ға ең жақын нүкте. RN=SN теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №64. ABC үшбұрышының CM медианасында AB2=4MNMC болатындай N нүктесі белгіленген. AN және BN түзулері ABC-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше P және Q нүктелерінде қияды. R нүктесі — PQ кесіндісіндегі NRC=BNC теңдігі орындалатындай Q-ға ең жақын нүкте; S нүктесі — PQ кесіндісіндегі NSC=ANC теңдігі орындалатындай P-ға ең жақын нүкте. RN=SN теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №65. Шексіз және қатаң өспелі a1, a2, a3, натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал n саны үшін ann+2020 екені және n3an1 саны an+1 санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал n үшін an=n екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №66. Іштей сызылған дөңес ABCDEF алтыбұрышында BC=EF және CD=AF. AC және BF диагоналдары Q нүктесінде, ал EC және DF диагоналдары P нүктесінде қиылысады. DF және BF кесінділерінде сәйкесінше R және S нүктелері FR=PD және BQ=FS болатындай белгіленген. RQ және PS кесінділері T нүктесінде қиылысады. TC түзуі DB диагоналін қақ ортасынан бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №67.  ABC (C=90) үшбұрышының BC катетінде CAK=KAL=LAB болатындай K және L нүктелері белгіленген. AB гипотенузасында M нүктесі ML=KL болатындай нүкте. C нүктесінен AK түзуіне жүргізілген перпендикуляр ML кесіндісін екі тең бөлікке бөлмейтінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №68.  ABC үшбұрышында ACB+AKL=50 және ABC+ALK=70 болатындай AB қабырғасынан K нүктесі, ал AC қабырғасынан L нүктесі алынған. BAC бұрышының өлшемі қанша бола алады? ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №69.  ABCD трапециясының (ADBC) диагональдары K нүктесінде қиылысады. ABK үшбұрышының ішінде MBC=MAD, MCB=MDA болатындай M нүктесі алынған. MKAD екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №70. ABCD дөңес төртбұрышының AB және CD қабырғаларының созындысы P нүктесінде, ал AC және BD диагональдері Q нүктесінде қиылысады. M және N нүктелері сәйкесінше AC және BD диагональдерінің орталары. BCQ және MNQ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер T (TQ) нүктесінде қиылысады. Егер APD=90 болса, онда PT түзуі MN кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №71. ABC (AC>BC) үшбұрышы ω шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың CN биссектрисасы ω--ны M (MC) нүктесінде қияды. BN кесіндісінің бойында кез келген T нүктесі белгіленген. H нүктесі — MNT үшбұрышының ортоцентрі болсын. MNH үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер ω--ны R (RM) нүктесінде қияды. ACT=BCR екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №72. ABC үшбұрышының AC қабырғасында BC=DC болатындай D нүктесі табылсын. J нүктесі — ABD үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі. J нүктесінен ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанамалардың біреуі BD түзуіне параллель екенін дәледеңіз ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №73. ABC үшбұрышында M нүктесі — AB қабырғасының ортасы. AC кесіндісінде CB=CB1 болатындай B1 нүктесі белгіленген. ABC және BMB1 үшбұрыштарына сырттай сызылған сәйкесінше ω және ω1 шеңберлері екінші рет K нүктесінде қиылысады. Q нүктесі — ω шеңберіндегі ACB доғаның ортасы. B1Q және BC түзулері E нүктесінде қиылысады. KC түзуінің B1E кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №74.  В окружности ω диаметр AB и хорда CD перпендикулярны. Пусть M любая точка отрезка AC. Точка P -- основание перпендикуляра из точки C на прямую BM. Пусть окружность ω1, описанная около треугольника MPD, пересекает описанную окружность треугольника CPB во второй раз в точке Q (точки P и Q лежат по разные стороны от прямой AB). Прямая CD вторично ω1 в точке N. Докажите, что CQN=BPN. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №75. C бұрышы доғал болатын теңбүйірлі ABC үшбұрышы берілген. AC қабырғасының (C нүктесінен ары қарайғы) созындысынан KBC=ABC болатындай етіп K нүктесі алынған. BKC және ACB бұрыштарының биссектрисаларының қиылысуы S нүктесі болсын. AB және KS түзулері L нүктесінде, ал BS және CL түзулері M нүктесінде қиылыссын. KM түзуі BC кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №76.  В параллелограмме ABCD с острым углом A на отрезке AD отмечена точка N, а на отрезке CN — точка M так, что AB=BM=CM. Точка K симметрична точке N относительно прямой MD. Прямая MK пересекает отрезок AD в точке L. Пусть P — общая точка описанных окружностей треугольников AMD и CNK, причем точки A и P лежат по одну сторону от прямой MK. Докажите, что CPM=DPL. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №77.  В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, а I — центр вписанной окружности. Точка A1 симметрична точке A относительно прямой BI, а точка B1 симметрична точке B относительно прямой AI. Пусть N — середина отрезка A1B1. Докажите, что IN>IM. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №78. C төбесіндегі бұрышы 100 болатын ABC үшбұрышының AB қабырғасынан AP=BC және BQ=AC болатындай P және Q нүктелері алынған. M, N, K нүктелері сәкесінше AB, CP, CQ кесінділерінің орталары болсын. NMK бұрышын анықтаңдар. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №79.  ω шеңберіне дөңес ABCD төртбұрышы іштей сызылған. AB және DC сәулелері K нүктесінде қиылысады. BD диагональында BAC=DAL болатындай L нүктесі алынған. KL кесіндісінде CMBD болатындай M нүктесі белгіленген. BM түзуі ω шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №80. Теңбүйірлі емес ABC үшбұрышына сырттай сызылған Ω шеңберге C нүктесінде жүргізілген жанама түзу AB түзуін D нүктесінде қияды. D арқылы өтететін түзу AC және BC қабырғаларын, сәйкесінше, K және L нүктелерінде қияды. AB қабырғасынан ACNL, BCKM болатындай M және N нүктелері белгіленген. NL және KM түзулері P нүктесінде қиылысады (P ABC-ның ішінде жатыр). CP түзуі MNP үшбұрышына сырттай сызылған ω шеңберін екінші рет Q нүктесінде қияды. DQ түзуі ω-ны жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №81. \q1 ABC үшбұрышының іштейсырт сызылған шеңбері AB қабырғасын M, ал AC және BC қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше, N және K нүктелерінде жанайды. NK кесіндісінде P және Q нүктелері AN=AP және BK=BQ болатындай алынған. MPQ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусына тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада
Есеп №82. Центрі O болатын ω шеңберіне ABC үшбұрышы іштей сызылған (C>90 және AC>BC). ω-ға C нүктесінде жүргізілген жанама түзу AB түзуін D нүктесінде қияды. ΩAOB үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. OD және AC түзулері Ω-ны екінші рет, сәйкесінше, E және F нүктелерінде қияды. OF және CE түзулері T, ал OD және BC түзулері K нүктесінде қиылысады. O, T, B, K нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №83. Центрі O болатын ω шеңберіне ABC үшбұрышы іштей сызылған (C>90 және AC>BC). ω-ға C нүктесінде жүргізілген жанама түзу AB түзуін D нүктесінде қияды. ΩAOB үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. OD және AC түзулері Ω-ны екінші рет, сәйкесінше, E және F нүктелерінде қияды. OF және CE түзулері T, ал OD және BC түзулері K нүктесінде қиылысады. O, T, B, K нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №84. Ω және Γ шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады. Осы шеңберлердің центрлері арқылы өтетін түзу Ω және Γ-ны, сәйкесінше, P және Q нүктелерінде қияды (мұнда P және Q нүктелері AB-ның бір жағында жатыр әрі Q нүктесі P-ға қарағанда AB-ға жақынырақ орналасқан). δ шеңбері AB кесіндісін D, ал Γ-ны T нүктесінде жанайды (мұнда δ шеңбері және P, Q нүктелері AB-ның бір жағында жатыр). PD түзуі δ-ны екінші рет K, ал Ω-ны екінші рет L нүктесінде қияды. QTK=DTL екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №85. Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AD биіктігі жүргізілген. H нүктесі — ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. A және B нүктелері арқылы өтетін Ω шеңбері AC түзуін жанайды. BE кесіндісі Ω-ның диаметрі болсын. BH және AH түзулері Ω-ны екінші рет, сәйкесінше, K және L нүктелерінде қияды. EK және AB түзулері T нүктесінде қиылыссын. BDK=BLT екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №86. Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AD биіктігі жүргізілген. H нүктесі — ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. A және B нүктелері арқылы өтетін Ω шеңбері AC түзуін жанайды. BE кесіндісі Ω-ның диаметрі болсын. BH және AH түзулері Ω-ны екінші рет, сәйкесінше, K және L нүктелерінде қияды. EK және AB түзулері T нүктесінде қиылыссын. BDK=BLT екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №87. Теңбүйірлі емес ABCD (ABDC) трапециясы берілген. A және B нүктелері арқылы өтетін қандай да бір шеңбер AD және BC қабырғаларын, сәйкесінше, E және F нүктелерінде қияды. AF және BE кесінділері G, ал ADG және BCG үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет H нүктесінде қиылысады. Егер DG=CG болса, онда H нүктесі ABG үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №88. ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге C нүктесінде жүргізілген жанама түзу AB түзуін D нүктесінде қияды. CAB, CBA және CDA бұрыштарының биссектрисалары шектейтін үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер CD түзуімен жанасатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №89. O нүктесі сүйір бұрышты ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, ал CH — осы үшбұрыштың биіктігі. K нүктесі H нүктесіне AC-ға қатысты, ал L нүктесі H нүктесіне BC-ға қатысты симметриялы нүкте. CO түзуі HK және HL түзулерін, сәйкесінше, P және Q нүктелерінде қияды. PQH үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер KLP және KLQ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді, сәйкесінше, екінші рет P1 және Q1 нүктелерінде қияды. C, P1 және Q1 нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №90. Тең бүйірлі емес ABC үшбұрышында M нүктесі — AB қабырғасының ортасы, I — іштей сызылған шеңбер центрі, ал JABC-ға сырттай сызылған шеңбердің C-ны қамтымайтын AB доғасының ортасы. Центрі J және радиусы JM болатын шеңберге IP және IQ жанамалары жүргізілген (мұнда A мен P нүктелері CI түзуінің бір жағында жатыр). APJ және BQJ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет R нүктесінде қиылысады. R нүктесі AB түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №91. Тең бүйірлі емес ABC үшбұрышында M нүктесі — AB қабырғасының ортасы, I — іштей сызылған шеңбер центрі, ал JABC-ға сырттай сызылған шеңбердің C-ны қамтымайтын AB доғасының ортасы. Центрі J және радиусы JM болатын шеңберге IP және IQ жанамалары жүргізілген (мұнда A мен P нүктелері CI түзуінің бір жағында жатыр). APJ және BQJ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет R нүктесінде қиылысады. IP және IQ түзулері AB түзуін, сәйкесінше, X және Y нүктелерінде қияды. MX1 және MY1, сәйкесінше, XMJ және YMJ үшбұрыштарының биссектрисалары. X1,Y1 және R нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №92. Тең бүйірлі емес ABC үшбұрышында M нүктесі — AB қабырғасының ортасы, I — іштей сызылған шеңбер центрі, ал JABC-ға сырттай сызылған шеңбердің C-ны қамтымайтын AB доғасының ортасы. Центрі J және радиусы JM болатын шеңберге IP және IQ жанамалары жүргізілген (мұнда A мен P нүктелері CI түзуінің бір жағында жатыр). APJ және BQJ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет R нүктесінде қиылысады. IP және IQ түзулері AB түзуін, сәйкесінше, X және Y нүктелерінде қияды. MX1 және MY1, сәйкесінше, XMJ және YMJ үшбұрыштарының биссектрисалары. X1,Y1 және R нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада