Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Задача №1. Диагонали трапеции

$ABCD$ (

$AD \parallel BC$ ) пересекаются в точке

$K$ . На прямой

$AD$ отмечены точки

$L$ и

$M$ так, что

$A$ лежит на отрезке

$LD$ ,

$D$ лежит на отрезке

$AM$ ,

$AL=AK$ и

$DM=DK$ . Докажите, что прямые

$CL$ и

$BM$ пересекаются на биссектрисе угла

$BKC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дополненная десятичная запись натурального числа

$n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа

$n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть

$n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$\mathbb{R}^{+}$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции

$f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ такие, что

$f\left(3{f\left(xy\right)}^2+\left(xy\right)^2\right)={(xf\left(y\right)+yf\left(x\right))}^2$ для любых

$x,y\in\mathbb{R}^{+}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

Задача №4. Даны натуральные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ и

$d$ такие, что числа

$a$ и

$b$ взаимно просты и

$a > b.$ Известно, что число

$c^2$ делится на

$a^2+b$ , а число

$d^2$ делится на

$a^2+b^2.$ Докажите, что

$cd > 2a^2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Задача №5. Докажите, что для любых действительных чисел

$a,b,c\in(0,1)$ выполняется неравенство

$\left(\sqrt2a-bc\right)\left(\sqrt2b-ca\right)\left(\sqrt2c-ab\right)\le\frac{1}{8}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

Задача №6. Диагонали вписанного выпуклого четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ . Пусть

$\ell$ — прямая, делящая угол

$AOB$ пополам. Обозначим через

$(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$ невырожденный треугольник, образованный прямыми

$\ell_1,\ell_2,\ell_3$ . Пусть

$\Delta_1=(\ell,AB,CD)$ и

$\Delta_2=(\ell,AD,BC)$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$\Delta_1$ и

$\Delta_2$ касаются друг друга. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

результаты