Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ: $f(x)=x$ и $f(x)=x/3$ для любого $x > 0.$
Решение. Из условия следует, что
$$xf(y)+yf(x)=af(b)+bf(a). \quad (1)$$
для любых $a,b,x,y > 0$ таких, что $ab=xy.$ Рассмотрим произвольное число $t > 0.$ Пусть $f(1)=c.$ Из (1) при $x=t^n$, $y=1$, $a=t^{n-1},$ $b=t$ следует, что
$$f(t^n)=t^{n-1}f(t)+tf(t^{n-1})-ct^n \quad (2)$$
для любого натурального $n$. Из (2) индукцией по $n$ легко доказать, что
$$f(t^n)=t^{n-1}\left(nf(t)-(n-1)ct\right)$$
для любого натурального $n$. Значит $nf(t) > (n-1)ct$ для любого натурального $n$, следовательно $f(t) \ge ct$ для любого $t > 0$. Тогда для любого $t > 0$ при $a=t$, $b=1/t$, $x=y=1$ из (1) следует, что
$$2c=t\cdot f\left(\frac{1}{t}\right)+\frac{f(t)}{t} \ge t \left( c \cdot\frac{1}{t}\right)+ \frac{ct}{t}=2c.$$ Значит, $f(t)=ct$ для любого $t > 0$. Подставив это равенство в начальное условие, сократив на ненулевое произведение $x^2y^2$, получим:
$$ c(3c^2+1)=4c^2 \Leftrightarrow c(c-1)(3c-1)=0.$$
Так как нас интересуют только ненулевые $c$, получим два значения $c_1=1$ и $c_2=1/3$.
Следовательно, существуют две функции, удовлетворяющие условию задачи: $f(x)=x$ и $f(x)=x/3$. Легко проверить удовлетворяет условию задачи.
Пусть $c=f(1)$.
Из $P(x,y)$ и $P(xy,1)$ следует, что $\forall x,y\in\mathbb{R^+} $$$xf(y)+yf(x)=xyc+f(xy)$$
Пусть $g:\mathbb{R}\to (-c,+\infty)$ такое, что $g(x)=\frac {f(e^x)}{e^x} -c$, откуда $$g(x)+g(y)=g(x+y)$$
так как функция $g$ ограничена снизу, то $g(x)=0\implies f(x)=cx$, подставив в изначальное уравнение находим, что $c=1$ или $c=\frac{1}{3}$
Замечание: $e^x$ принимает все $\mathbb R^+-$ значения, при $x\in\mathbb R$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.