Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Пусть $\mathbb{R}^{+}$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ такие, что $$f\left(3{f\left(xy\right)}^2+\left(xy\right)^2\right)={(xf\left(y\right)+yf\left(x\right))}^2$$ для любых $x,y\in\mathbb{R}^{+}$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $f(x)=x$ и $f(x)=x/3$ для любого $x > 0.$
Решение. Из условия следует, что $$xf(y)+yf(x)=af(b)+bf(a). \quad (1)$$ для любых $a,b,x,y > 0$ таких, что $ab=xy.$ Рассмотрим произвольное число $t > 0.$ Пусть $f(1)=c.$ Из (1) при $x=t^n$, $y=1$, $a=t^{n-1},$ $b=t$ следует, что $$f(t^n)=t^{n-1}f(t)+tf(t^{n-1})-ct^n \quad (2)$$ для любого натурального $n$. Из (2) индукцией по $n$ легко доказать, что $$f(t^n)=t^{n-1}\left(nf(t)-(n-1)ct\right)$$ для любого натурального $n$. Значит $nf(t) > (n-1)ct$ для любого натурального $n$, следовательно $f(t) \ge ct$ для любого $t > 0$. Тогда для любого $t > 0$ при $a=t$, $b=1/t$, $x=y=1$ из (1) следует, что $$2c=t\cdot f\left(\frac{1}{t}\right)+\frac{f(t)}{t} \ge t \left( c \cdot\frac{1}{t}\right)+ \frac{ct}{t}=2c.$$ Значит, $f(t)=ct$ для любого $t > 0$. Подставив это равенство в начальное условие, сократив на ненулевое произведение $x^2y^2$, получим: $$ c(3c^2+1)=4c^2 \Leftrightarrow c(c-1)(3c-1)=0.$$ Так как нас интересуют только ненулевые $c$, получим два значения $c_1=1$ и $c_2=1/3$. Следовательно, существуют две функции, удовлетворяющие условию задачи: $f(x)=x$ и $f(x)=x/3$. Легко проверить удовлетворяет условию задачи.

Пусть $c=f(1)$.

Из $P(x,y)$ и $P(xy,1)$ следует, что $\forall x,y\in\mathbb{R^+} $$$xf(y)+yf(x)=xyc+f(xy)$$

Пусть $g:\mathbb{R}\to (-c,+\infty)$ такое, что $g(x)=\frac {f(e^x)}{e^x} -c$, откуда $$g(x)+g(y)=g(x+y)$$

так как функция $g$ ограничена снизу, то $g(x)=0\implies f(x)=cx$, подставив в изначальное уравнение находим, что $c=1$ или $c=\frac{1}{3}$

Замечание: $e^x$ принимает все $\mathbb R^+-$ значения, при $x\in\mathbb R$

Из $nf(t) > (n-1)ct$ необязательно следует $f(t) \geq ct$. Например, $f(t) = \frac{2n-1}{2n}ct$.

Edit: Извиняюсь, я не прав