Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $2^{100}$.
Решение. Пусть в дополненной десятичной записи числа $N=\sum\limits{k=0}^m a_k\cdot 10^k$ слагаемое $10^k$ встречается 10 раз (то есть $a_k=10$. Тогда остаток от деления $N$ на $10^{k+1}$ не может быть больше, чем $\sum\limits{i=0}^{k-1} 10\cdot 10^i=\sum\limits{i=1}^{k} 10^i= 111\dots1110$ (в последнем случае имеется в виду обычная десятичная запись, и в ней $k$ единиц).
  У числа $N=20182018\dots 2018=\sum\limits_{j=1}^{100} (2\cdot 10^{4j-1}+ 10^{4j-3}+8\cdot 10^{4j-4})$ остаток от деления на $10^{4j}$ при $1\leq j\leq 100$ равен $2018\dots 2018 > 2\cdot 10^{4j-1}$, на $10^{4j-2}$ равен $182018\dots 2018 > 111\dots 1110$, на $10^{4j-3}$ равен $82018\dots 2018\geq 8\cdot 10^{4j-4}$. Поэтому $a_k$ может быть равно 10 только при $k=4j-2$, $1\leq j\leq 100$.
  С другой стороны, $a_k$ может быть равно 10 для любого набора $k$ такого вида (поскольку слагаемое $2\cdot 10^{4j-1}+10^{4j-3}+8\cdot 10^{4j-4}$ можно заменить на $1\cdot 10^{4j-1}+10\cdot 10^{4j-2}+10^{4j-3}+8\cdot 10^{4j-4}$).
  Выбрать такой набор можно $2^{100}$ способами.