Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Точки $K$ и $N$ лежат на стороне $AC$, а точки $M$ и $L$ на стороне $BC$ так, что $AN=CK=CL=BM.$ Пусть отрезки $KL$ и $MN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $\angle RPN = \angle QPK$, где $R$ — середина стороны $AB$, а $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Без потери общности положим $AC > BC$. Обозначим $MN \cap AB=X$, $KL \cap AB=Y$. Применим два раза теорему Менелая для треугольника $ABC$ и его секущих $MX$ и $KY$. Имеем: $$\frac{BX}{AX}\cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CM}{MB}=1 = \frac{AY}{BY} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CK}{KA}.$$ Так как $AN=CK$, $NC=KA$, $CM=BL$ и $MB=LC$, то $BX/AX=AY/BY$, откуда $AX=BY$ или точки $X$ и $Y$ симметричны относительно $R$. Так как обе точки $R$ и $Q$ лежат на серединном перпендикуляре отрезка $AB$, то треугольник $QXY$ равнобедренный.