Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс
Задача №1. Можно ли числа 1, 2, …, 2017 разбить на три непустых множества A, B и C так, что для любых a∈A, b∈B и c∈C числа ab+c и ac+b не являлись точными квадратами?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все функции f:R→R такие, что
|y−f(f(x))|≥|f(x)2+xf(y)| для любых действительных x и y. Здесь R — множество действительных чисел.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точки K и N лежат на стороне AC, а точки M и L на стороне BC так, что AN=CK=CL=BM. Пусть отрезки KL и MN пересекаются в точке P. Докажите, что ∠RPN=∠QPK, где R — середина стороны AB, а Q — середина дуги ACB окружности, описанной около треугольника ABC.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Остроугольный треугольник ABC (AC>BC) вписан в окружность с центром в точке O, а CD — диаметр этой окружности. На продолжении луча DA за точку A взята точка K, а на отрезке BD точка L (DL>LB) так, что ∠OKD=∠BAC, ∠OLD=∠ABC. Докажите, что прямая KL проходит через середину отрезка AB.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В каждую клетку таблицы 100×100 записано одно из чисел 1,2,...,100, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Найдите все пары нечетных натуральных чисел (a,b) таких, что a,b<22017, а числа ab+b и ba+a делятся на 22017.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)