Математикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш

$A$ ,

$B$ және

$C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген

$a\in A$ ,

$b\in B$ және

$c\in C$ үшін,

$ab+c$ және

$ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Кез келген нақты

$x$ және

$y$ сандары үшін

$\left| y-f\left( f\left( x \right) \right)\left| \ge \right|f{{\left( x \right)}^{2}}+xf\left( y \right) \right|$ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар. Бұл жерде

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$K$ және

$N$ нүктелері

$AC$ қабырғасындағы, ал

$M$ және

$L$ нүктелері

$BC$ қабырғасындағы

$AN=CK=CL=BM$ теңдіктері орындалатындай нүктелер.

$KL$ және

$MN$ кесінділері

$P$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle RPN = \angle QPK$ теңдігін дәлелдеңіз, бұл жерде

$R$ —

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$Q$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$ACB$ доғасының ортасы. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Сүйір бұрышты

$ABC$

$(AC > BC)$ үшбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған.

$CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі.

$DA$ сәулесінің

$A$ -дан ары созындысынан

$K$ , ал

$BD$ кесіндісінен

$L$

$(DL > LB)$ нүктелері

$\angle OKD = \angle BAC$ ,

$\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған.

$KL$ түзуінің

$AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$100\times 100$ тақтаның әр шаршысына

$1,2,\ldots,100$ сандарының біреуі жазылған; және тақтада осы сандардың әрқайсысы 100 реттен кездеседі. Тақтаның кез келген жолын немесе бағанын сызық деп атайық. Бір жүрісте сандарының қосындысы 100-ден үлкен кез келген сызықты алып, осы сызықтағы сандардың бәрін нөлге теңестіруге болады. Егер бірнеше жүрістен кейін әр жолдағы сандардың қосындысы 100-ден аспаса, онда тақтада нөлге тең емес ең көп дегенде қанша сан қалуы мүмкін? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

${{a}^{b}}+b$ және

${{b}^{a}}+a$ қосындыларының әрқайсысы

${{2}^{2017}}$ -не бөлінетіндей

$a,b < {{2}^{2017}}$ болатын барлық тақ натурал

$\left( a,b \right)$ жұптарын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

результаты