қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш $A$, $B$ және $C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген $a\in A$, $b\in B$ және $c\in C$ үшін, $ab+c$ және $ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Кез келген нақты $x$ және $y$ сандары үшін $\left| y-f\left( f\left( x \right) \right)\left| \ge \right|f{{\left( x \right)}^{2}}+xf\left( y \right) \right|$ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ функцияларын табыңыздар. Бұл жерде $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген. $K$ және $N$ нүктелері $AC$ қабырғасындағы, ал $M$ және $L$ нүктелері $BC$ қабырғасындағы $AN=CK=CL=BM$ теңдіктері орындалатындай нүктелер. $KL$ және $MN$ кесінділері $P$ нүктесінде қиылыссын. $\angle RPN = \angle QPK$ теңдігін дәлелдеңіз, бұл жерде $R$ — $AB$ қабырғасының ортасы, ал $Q$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $ACB$ доғасының ортасы.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Сүйір бұрышты $ABC$ $(AC > BC)$ үшбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі. $DA$ сәулесінің $A$-дан ары созындысынан $K$, ал $BD$ кесіндісінен $L$ $(DL > LB)$ нүктелері $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған. $KL$ түзуінің $AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $100\times 100$ тақтаның әр шаршысына $1,2,\ldots,100$ сандарының біреуі жазылған; және тақтада осы сандардың әрқайсысы 100 реттен кездеседі. Тақтаның кез келген жолын немесе бағанын сызық деп атайық. Бір жүрісте сандарының қосындысы 100-ден үлкен кез келген сызықты алып, осы сызықтағы сандардың бәрін нөлге теңестіруге болады. Егер бірнеше жүрістен кейін әр жолдағы сандардың қосындысы 100-ден аспаса, онда тақтада нөлге тең емес ең көп дегенде қанша сан қалуы мүмкін?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. ${{a}^{b}}+b$ және ${{b}^{a}}+a$ қосындыларының әрқайсысы ${{2}^{2017}}$-не бөлінетіндей $a,b < {{2}^{2017}}$ болатын барлық тақ натурал $\left( a,b \right)$ жұптарын табыңыздар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)