Решения: Республиканская олимпиада, Заключительный этап

Математикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып

Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$K$ және

$N$ нүктелері

$AC$ қабырғасындағы, ал

$M$ және

$L$ нүктелері

$BC$ қабырғасындағы

$AN=CK=CL=BM$ теңдіктері орындалатындай нүктелер.

$KL$ және

$MN$ кесінділері

$P$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle RPN = \angle QPK$ теңдігін дәлелдеңіз, бұл жерде

$R$ —

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$Q$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$ACB$ доғасының ортасы. ( М. Кунгожин )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Без потери общности положим $AC > BC$ . Обозначим $MN \cap AB=X$ , $KL \cap AB=Y$ . Применим два раза теорему Менелая для треугольника $ABC$ и его секущих $MX$ и $KY$ . Имеем: $\frac{BX}{AX}\cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CM}{MB}=1 = \frac{AY}{BY} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CK}{KA}.$ Так как $AN=CK$ , $NC=KA$ , $CM=BL$ и $MB=LC$ , то $BX/AX=AY/BY$ , откуда $AX=BY$ или точки $X$ и $Y$ симметричны относительно $R$ . Так как обе точки $R$ и $Q$ лежат на серединном перпендикуляре отрезка $AB$ , то треугольник $QXY$ равнобедренный.

Так как

$QA = QB$ ,

$AN = BM$ и

$\angle CAQ = \angle CBQ$ . Значит, треугольники

$QAN$ и

$QBM$ равны. Отсюда, в частности, следует, что

$QM = QN$ и

$\angle MQN = \angle ACB$ . Из последнего равенства углов следует, что четырёхугольник

$MQCN$ вписан в некоторую окружность. Тогда, из выписанности четырехугольников следует, что

$\angle QCM = \angle QNX$ , с другой стороны

$\angle QCM = \angle QAX$ , то есть

$\angle QNX= \angle QAX$ или четырехугольник

$ANQX$ вписанный.
Далее, так как

$Q$ середина дуги

$ACB$ , то

$\angle QAC=\angle QAB-\angle CAB=(\angle A + \angle B)/2-\angle A=\frac{\angle B-\angle A}{2}$ . Треугольник

$CKL$ равнобедренный, поэтому

$\angle KYX = \angle CBA - \angle BLY= \angle B-(90^\circ - \angle C/2)=\angle B-(\angle A/2+\angle B/2)=(\angle B-\angle A)/2$ , то есть

$\angle QXN=\angle QAN=(\angle B-\angle A)/2=\angle PYX.$ Так как треугольник

$QXY$ равнобедренный, то

$\angle PXY =\angle PYQ$ .
Следовательно, прямые

$QX$ и

$QY$ — касательные к описанной окружности треугольника

$PXY$ . Тогда по свойству симедианы, прямая

$QP$ как раз и есть симедиана треугольника

$PXY$ . Значит,

$\angle QPK =\angle XPR = \angle RPN$ .