17-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2021 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что при некотором натуральном

$n$ остаток от деления

$3^n$ на

$2^n$ больше

$10^{2021}$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(5)

Задача №2. Дан выпуклый вписанный шестиугольник

$ABCDEF$ , в котором

$BC=EF$ и

$CD=AF$ . Диагонали

$AC$ и

$BF$ пересекаются в точке

$Q$ , а диагонали

$EC$ и

$DF$ — в точке

$P$ . На отрезках

$DF$ и

$BF$ отмечены точки

$R$ и

$S$ соответственно так, что

$FR=PD$ и

$BQ=FS$ . Отрезки

$RQ$ и

$PS$ пересекаются в точке

$T$ . Докажите, что прямая

$TC$ делит диагональ

$DB$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Задача №3. Дано натуральное число

$n\geqslant 2$ . У Элвина есть таблица

$n\times n$ , заполненная вещественными числами (в каждой клетке записано ровно одно число). Назовём ладейным множеством множество из

$n$ клеток, расположенных как в

$n$ различных столбцах, так и в

$n$ различных строках. Предположим, что сумма чисел в клетках любого ладейного множества неотрицательна.
За ход Элвин выбирает строку, столбец, а также вещественное число

$a$ ; к каждому числу в выбранной строке он прибавляет

$a$ , а из каждого числа в выбранном столбце — вычитает

$a$ (таким образом, число в пересечении строки и столбца не изменяется). Докажите, что Элвин может, сделав несколько ходов, добиться, чтобы все числа в таблице стали неотрицательными. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В треугольник

$ABC$ вписана окружность радиуса

$r$ . Окружности с радиусами

$r_1,$

$r_2,$

$r_3$ (здесь

$r_1,r_2,r_3 < r$ ) вписаны в углы

$A,$

$B,$

$C$ соответственно так, что каждая из них касается вписанной окружности внешним образом. Докажите, что

$r_1+r_2+r_3\geqslant r.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4)

Задача №5. На вечеринку пришли 99 гостей. Двое ведущих вечеринки, Анна и Боб, играют в следующую игру (ведущие не входят в число гостей). По кругу расставлены 99 стульев; изначально все гости ходят вокруг стульев. Ведущие делают ходы по очереди. За ход ведущий выбирает стоящего гостя и указывает ему свободный стул

$c$ , на который тот должен сесть; если хотя бы один стул, соседний с

$c$ , занят, то тот же ведущий велит одному гостю на стуле, соседнем с

$c$ , встать (если оба стула, соседних с

$c$ , заняты, ведущий выбирает один из них). Все указания исполняются немедленно. Анна ходит первой; её цель — добиться, чтобы после какого-то её хода хотя бы

$k$ стульев были заняты. При каком наибольшем

$k$ Анна может добиться цели, как бы ни действовал Боб? ( И. Богданов )
комментарий/решение(2)

Задача №6. Пусть

$P(x)$ — непостоянный многочлен степени

$n$ с рациональными коэффициентами, который нельзя представить в виде произведения двух непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами. Докажите, что количество многочленов

$Q(x)$ с рациональными коэффициентами, степени, меньшей

$n$ , таких, что

$P(Q(x))$ делится на

$P(x)$ ,
а) конечно;
б) не превосходит

$n$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

результаты