17-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2021 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Қандай да бір натурал $n$ саны үшін $3^n$ санын $2^n$ санына бөлгенде, қалдық $10^{2021}$ санынан үлкен болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Іштей сызылған дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышында $BC=EF$ және $CD=AF$. $AC$ және $BF$ диагоналдары $Q$ нүктесінде, ал $EC$ және $DF$ диагоналдары $P$ нүктесінде қиылысады. $DF$ және $BF$ кесінділерінде сәйкесінше $R$ және $S$ нүктелері $FR=PD$ және $BQ=FS$ болатындай белгіленген. $RQ$ және $PS$ кесінділері $T$ нүктесінде қиылысады. $TC$ түзуі $DB$ диагоналін қақ ортасынан бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4)

Есеп №3. $n\geqslant 2$ натурал саны берілген. Элвинде өлшемі $n\times n$ тақта бар. Сол тақтаның әр шаршысына нақты бір сан жазылған. $n$ шаршыдан құралған жиынды ладьялы жиын деп атайық, егер осы шаршылар әртүрлі қатарларда және әртүрлі бағандарда орналасса. Кез келген ладьялы жиындағы сандардың қосындысы теріс емес болсын.
Бір жүрісте Элвин нақты $a$ санын, қандай да бір қатарды, қандай да бір бағанды таңдап алып, сосын таңдалған қатардағы әр санға $a$ санын қосады, ал таңдалған әр бағандағы саннан $a$ санын азайтады (яғни таңдалған қатар мен бағанның қиылысындағы сан өзгермейді). Бірнеше жүріс ішінде, Элвин тақтадағы барлық сандар теріс емес болатындай жүріс жасай алатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышына радиусы $r$ болатын шеңбер іштей сызылған. Радиустары $r_1,$ $r_2,$ $r_3$ болатын шеңберлер ($r_1,r_2,r_3 < r$) сәйкесінше $A,$ $B,$ $C$ бұрыштарына іштей сызылған және әр шеңбер $\triangle ABC$-ға іштей сызылған шеңберді сырттай жанайды. $r_1+r_2+r_3\geqslant r$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Сауық кешке 99 қонақ келді. Кешті ойын түрде Анна және Боб тамадалары жүргізеді (тамадалар қонақтардың құрамына кірмейді). Шеңбер бойымен 99 орындық қойылған; бастапқыда барлық қонақтар орындықтардың айналасында жүреді. Тамадалар кезектесіп жүреді.
Тамада өзінің жүрісінде тұрып тұрған қонақты таңдайды да, оған бос тұрған $c$ орындықты көрсетеді, сол кезде қонақ сол орындыққа отыруы керек; ал егер $c$ орындығына көрші екі орындықтардың кемінде біреуі бос емес болса, онда сол тамада $c$-ға көрші бос емес орындықта отырған қонақтың орындықтан тұрып кетуіне бұйрық береді (егер екі орындық та бол болмаса, онда тамада екі орындықтың біреуін таңдайды). Сол кезде бұйрықтар мезетте орындалады.
Жүрісті Анна бастайды; оның мақсаты — оның қандай да бір жүрісінен кейін кемінде $k$ орындық бос болмауы керек. $k$-ның қандай ең үлкен мәнінде, Боб қалай ойнамаса да, Анна өз мақсатына жете алады? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Тұрақты емес $P(x)$ көпмүшесінің дәрежесі $n$-ге тең, ал коэффициенттері рационал сандар. Сонымен қатар $P(x)$ көпмүшесін коэффициенттері рационал болатын екі (тұрақты емес) көпмүшенің көбейтіндісі түрінде келтіруге болмайды. $P(Q(x))$ көпмүшесі $P(x)$ көпмүшесіне бөлінетіндей, коэффициенттері рационал сандар болатын ал дәрежесі $n$-нен кіші $Q(x)$ көпмүшелерінің саны
    а) шекті екенін;
    б) $n$-нен аспайтынын
    дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

результаты