Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 11 класс

В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан такой треугольник $ABC$, в котором $\angle C > 90^\circ$ и $AC>BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AOB$. Прямые $OD$ и $AC$ повторно пересекают $\Omega$ в точках $E$ и $F$ соотвественно. Прямые $OF$ и $CE$ пересекаются в точке $T$, а прямые $OD$ и $BC$ — в точке $K$. Докажите, что точки $O$, $T$, $B$, $K$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $G=OF\cap BC$.

Заметим что $DC^2=DA\cdot DB= DE\cdot DO$ и $\angle DCO=90^{\circ}$, а значит $OEC=90^{\circ}$.$\angle OBC+\angle BOF= \angle OBC+ \angle BAC=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle BOC+ \angle BAC=90^{\circ}$ откуда следует что $\angle OGC=90^{\circ}$ . Отсюда $OECG$ вписанный.

Так как $OB=OC$, $G$ середина $BC$ и $T\in OG$, значит $TB=TC$.

Достаточно доказать что $\angle TOK= \angle TBK$ , при этом $\angle TOK = \angle GOE= 180^{\circ}-\angle ECG= 180^{\circ}-\angle ABC=TBK$ откуда следует требуемое.