Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 11 класс

Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған ($\angle C > 90^\circ$ және $AC>BC$). $\omega$-ға $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $\Omega$ — $AOB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $OD$ және $AC$ түзулері $\Omega$-ны екінші рет, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $OF$ және $CE$ түзулері $T$, ал $OD$ және $BC$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $O$, $T$, $B$, $K$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $G=OF\cap BC$.

Заметим что $DC^2=DA\cdot DB= DE\cdot DO$ и $\angle DCO=90^{\circ}$, а значит $OEC=90^{\circ}$.$\angle OBC+\angle BOF= \angle OBC+ \angle BAC=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle BOC+ \angle BAC=90^{\circ}$ откуда следует что $\angle OGC=90^{\circ}$ . Отсюда $OECG$ вписанный.

Так как $OB=OC$, $G$ середина $BC$ и $T\in OG$, значит $TB=TC$.

Достаточно доказать что $\angle TOK= \angle TBK$ , при этом $\angle TOK = \angle GOE= 180^{\circ}-\angle ECG= 180^{\circ}-\angle ABC=TBK$ откуда следует требуемое.