Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что $\angle CAK = \angle KAL = \angle LAB.$ На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML = KL.$ Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Проведем окружность $\omega$ с центром в точке $L$ и радиусом $KL.$ Она пересекает прямую $AB$ в двух точках или касается ее. Рассмотрим первый случай (второй сводится к нему). Одной из двух точек пересечения будет точка $M_1,$ симметричная точке $K$ относительно прямой $AL,$ так как она лежит на прямой $AB$ и $LM_1 = LK.$ При этом $\angle LM_1A = \angle AKL = \angle ACK+\angle CAK > 90^\circ.$ Поэтому угол $LM_1A$ является внешним углом равнобедренного треугольника $M_1LM_2,$ где $M_2$ — вторая точка пересечения $\omega$ с $AB,$ и точка $M_1$ лежит между точками $A$ и $M_2.$ Положим $\angle CAK = \angle KAL = \angle LAB = \alpha,$ а через $N$ обозначим середину основания $KM_1$ равнобедренного треугольника $KLM_1.$ Из равенства прямоугольных треугольников $ACK$ и $ANK$ находим $\angle AKN = \angle AKC = 90^\circ-\alpha,$ откуда $\angle NM_1L = \angle NKL = \angle AKL-\angle AKN = (90^\circ+\alpha)-(90^\circ-\alpha) = 2\alpha.$
    Пусть $P$ — середина отрезка $LM_1,$ $R$ — середина отрезка $LM_2,$ а $Q$ — точка пересечения прямой $CN$ с отрезком $M_1L.$ Поскольку $\triangle ACK = \triangle ANK,$ $KC = KN,$ откуда $CN \perp AK$ и $\angle M_1NQ = \angle KNC = \angle KCN = \alpha < 2\alpha = \angle M_1NP.$ Таким образом, точка $Q$ лежит между точками $M_1$ и $P,$ следовательно, прямая $CQ$ не может проходить через точку $P.$ Через точку $R$ прямая $CQ$ также не может проходить, поскольку $\angle CQL+\angle LQR < \angle CPL+\angle LPR < 180^\circ.$