қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур дистанционного этапа
Задача №1. За круглым столом сидели 99 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них сказал: «Хотя бы один из двух моих соседей — лжец.» Могло ли среди них быть ровно 60 рыцарей?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b,$ что $\text{НОД}(a, b)+\text{НОК}(a, b) = ab/2.$
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На шахматной доске $8\times 8$ нарисованы по клеточкам 17 не налегающих друг на друга двухклеточных прямоугольников. Докажите, что на доске найдутся две имеющие общую сторону клетки, одна из которых лежит в одном из нарисованных прямоугольников, а другая — в другом.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Положительные числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ таковы, что $(a+b+2c)^2 > d,$ $(b+c+2d)^2 > a,$ $(c+d+2a)^2 > b,$ $(d+a+2b)^2 > c.$ Докажите, что $a+b+c+d > 1/4.$
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что $\angle CAK = \angle KAL = \angle LAB.$ На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML = KL.$ Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)