Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1. За круглым столом сидели 99 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них сказал: «Хотя бы один из двух моих соседей — лжец.» Могло ли среди них быть ровно 60 рыцарей? ( Фольклор )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите все такие пары натуральных чисел

$a$ и

$b,$ что

$\text{НОД}(a, b)+\text{НОК}(a, b) = ab/2.$ ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. На шахматной доске

$8\times 8$ нарисованы по клеточкам 17 не налегающих друг на друга двухклеточных прямоугольников. Докажите, что на доске найдутся две имеющие общую сторону клетки, одна из которых лежит в одном из нарисованных прямоугольников, а другая — в другом. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Положительные числа

$a,$

$b,$

$c,$

$d$ таковы, что

$(a+b+2c)^2 > d,$

$(b+c+2d)^2 > a,$

$(c+d+2a)^2 > b,$

$(d+a+2b)^2 > c.$ Докажите, что

$a+b+c+d > 1/4.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. В треугольнике

$ABC$

$(\angle C = 90^\circ)$ на катете

$BC$ отмечены точки

$K$ и

$L$ такие, что

$\angle CAK = \angle KAL = \angle LAB.$ На гипотенузе

$AB$ отмечена точка

$M$ такая, что

$ML = KL.$ Докажите, что перпендикуляр из точки

$C$ на прямую

$AK$ не делит отрезок

$ML$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)