Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур дистанционного этапа

Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b,$ что $\text{НОД}(a, b)+\text{НОК}(a, b) = ab/2.$ ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $a = b = 4;$ $a = 3,$ $b = 6;$ $a = 6,$ $b = 3.$
Решение. I Пусть $\text{НОД}(a, b) = d,$ $a = xd,$ $b = yd.$ Тогда $\text{НОК}(a, b) = xyd$ и уравнение принимает вид $d+xyd = xyd^2/2,$ откуда $2xy+2 = xyd.$ Значит, 2 делится на $xy,$ то есть $xy = 1$ или $xy = 2.$ В первом случае имеем $x = y = 1,$ $d = 4,$ то есть $a = b = 4;$ во втором числа $x$ и $y$ — это 1 и 2 (в каком-то порядке), а $d = 3,$ откуда $a$ и $b$ — это 3 и 6.
Решение. II Так как число $ab/2$ — целое, среди чисел $a$ и $b$ есть чётное. Пусть это число $a.$ Тогда $\text{НОД}(a, b) = ab/2-\text{НОК}(a, b)$ делится на $b.$ Это возможно только если $\text{НОД}(a, b) = b,$ то есть $a$ делится на $b.$ С другой стороны, $ab/2$ и $\text{НОК}(a, b)$ кратны $a/2,$ поэтому $\text{НОД}(a, b) = b$ делится на $a/2.$ Таким образом, либо $a = b,$ либо $a = 2b.$ В первом случае получаем $2b = b^2/2,$ то есть $a = b = 4,$ во втором $b+2b = b^2,$ то есть $a = 6$ и $b = 3.$ Случай, когда $b$ четно, разбирается аналогично и дает решение $a = 3, b = 6.$