қазақша
русскийМатематикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры
Есеп №1. Дөңгелек үстел бойында 99 адам отыр. Олардың әрқайсысы сері немесе өтірікші. Сері әрқашан да шындықты айтады, ал өтірікші — тек өтірік айтады. Отырғандардың әрқайсысы «Менің екі көршімнің кемінде біреуі — өтірікші» деді. Осы отырғандардың ішінде дәл 60-ы сері болуы мүмкін ба?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $\text{ЕҮОБ}(a, b)+\text{ЕКОЕ}(a, b) = ab/2$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $a$ және $b$ натурал сандар жұптарын табыңыз.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Өлшемі $8\times 8$ шахмат тақтасында клеткалар бойынша бірін-бірі жаппайтын, 2 клеткадан тұратын 17 тіктөртбұрыш салынған. Келесі шарттар орындалатындай, ортақ қабырғасы бар екі клетка табылатынын дәлелдеңіз: осы екі клетканың біреуі салынған тіктөртбұрышың біреуінде жатыр, ал екіншісі — салынған тіктөртбұрыштың екіншісінде жатыр.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Оң $a,$ $b,$ $c,$ $d$ сандары үшін $(a+b+2c)^2 > d,$ $(b+c+2d)^2 > a,$ $(c+d+2a)^2 > b,$ $(d+a+2b)^2 > c$ теңсіздіктері орындалады. Олай болса $a+b+c+d > 1/4$ екенін дәлелдеңіз.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ үшбұрышының $BC$ катетінде $\angle CAK =\angle KAL =\angle LAB$ болатындай $K$ және $L$ нүктелері белгіленген. $AB$ гипотенузасында $M$ нүктесі $ML = KL$ болатындай нүкте. $C$ нүктесінен $AK$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр $ML$ кесіндісін екі тең бөлікке бөлмейтінін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)