Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Дөңгелек үстел бойында 99 адам отыр. Олардың әрқайсысы сері немесе өтірікші. Сері әрқашан да шындықты айтады, ал өтірікші — тек өтірік айтады. Отырғандардың әрқайсысы «Менің екі көршімнің кемінде біреуі — өтірікші» деді. Осы отырғандардың ішінде дәл 60-ы сері болуы мүмкін ба? ( Фольклор )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$\text{ЕҮОБ}(a, b)+\text{ЕКОЕ}(a, b) = ab/2$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$a$ және

$b$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Өлшемі

$8\times 8$ шахмат тақтасында клеткалар бойынша бірін-бірі жаппайтын, 2 клеткадан тұратын 17 тіктөртбұрыш салынған. Келесі шарттар орындалатындай, ортақ қабырғасы бар екі клетка табылатынын дәлелдеңіз: осы екі клетканың біреуі салынған тіктөртбұрышың біреуінде жатыр, ал екіншісі — салынған тіктөртбұрыштың екіншісінде жатыр. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Оң

$a,$

$b,$

$c,$

$d$ сандары үшін

$(a+b+2c)^2 > d,$

$(b+c+2d)^2 > a,$

$(c+d+2a)^2 > b,$

$(d+a+2b)^2 > c$ теңсіздіктері орындалады. Олай болса

$a+b+c+d > 1/4$ екенін дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$

$(\angle C = 90^\circ)$ үшбұрышының

$BC$ катетінде

$\angle CAK =\angle KAL =\angle LAB$ болатындай

$K$ және

$L$ нүктелері белгіленген.

$AB$ гипотенузасында

$M$ нүктесі

$ML = KL$ болатындай нүкте.

$C$ нүктесінен

$AK$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр

$ML$ кесіндісін екі тең бөлікке бөлмейтінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)