Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Проведем окружность ω с центром в точке L и радиусом KL. Она пересекает прямую AB в двух точках или касается ее. Рассмотрим первый случай (второй сводится к нему). Одной из двух точек пересечения будет точка M1, симметричная точке K относительно прямой AL, так как она лежит на прямой AB и LM1=LK. При этом ∠LM1A=∠AKL=∠ACK+∠CAK>90∘. Поэтому угол LM1A является внешним углом равнобедренного треугольника M1LM2, где M2 — вторая точка пересечения ω с AB, и точка M1 лежит между точками A и M2.
Положим ∠CAK=∠KAL=∠LAB=α, а через N обозначим середину основания KM1 равнобедренного треугольника KLM1. Из равенства прямоугольных треугольников ACK и ANK находим ∠AKN=∠AKC=90∘−α, откуда ∠NM1L=∠NKL=∠AKL−∠AKN=(90∘+α)−(90∘−α)=2α.
Пусть P — середина отрезка LM1, R — середина отрезка LM2, а Q — точка пересечения прямой CN с отрезком M1L. Поскольку △ACK=△ANK, KC=KN, откуда CN⊥AK и ∠M1NQ=∠KNC=∠KCN=α<2α=∠M1NP. Таким образом, точка Q лежит между точками M1 и P, следовательно, прямая CQ не может проходить через точку P. Через точку R прямая CQ также не может проходить, поскольку ∠CQL+∠LQR<∠CPL+∠LPR<180∘.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.