Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры


ABC (C=90) үшбұрышының BC катетінде CAK=KAL=LAB болатындай K және L нүктелері белгіленген. AB гипотенузасында M нүктесі ML=KL болатындай нүкте. C нүктесінен AK түзуіне жүргізілген перпендикуляр ML кесіндісін екі тең бөлікке бөлмейтінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Проведем окружность ω с центром в точке L и радиусом KL. Она пересекает прямую AB в двух точках или касается ее. Рассмотрим первый случай (второй сводится к нему). Одной из двух точек пересечения будет точка M1, симметричная точке K относительно прямой AL, так как она лежит на прямой AB и LM1=LK. При этом LM1A=AKL=ACK+CAK>90. Поэтому угол LM1A является внешним углом равнобедренного треугольника M1LM2, где M2 — вторая точка пересечения ω с AB, и точка M1 лежит между точками A и M2. Положим CAK=KAL=LAB=α, а через N обозначим середину основания KM1 равнобедренного треугольника KLM1. Из равенства прямоугольных треугольников ACK и ANK находим AKN=AKC=90α, откуда NM1L=NKL=AKLAKN=(90+α)(90α)=2α.
    Пусть P — середина отрезка LM1, R — середина отрезка LM2, а Q — точка пересечения прямой CN с отрезком M1L. Поскольку ACK=ANK, KC=KN, откуда CNAK и M1NQ=KNC=KCN=α<2α=M1NP. Таким образом, точка Q лежит между точками M1 и P, следовательно, прямая CQ не может проходить через точку P. Через точку R прямая CQ также не может проходить, поскольку CQL+LQR<CPL+LPR<180.