Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2012 год
Пусть дано натуральное число n, а m — целое число из множества {0, 1, ... , n2−1} такое, что число xn+yn−m не делится на n2 ни при каких целых x и y. Докажите, что количество таких m не меньше n(n−1)2.
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим такой факт: (x+n)n≡xn+C1nnxn−1+...+nn≡xn(modn2)
Это означает что xn может давать максимум n различных остатков( 0n,1n,2n,...,(n−1)n). Из этого вытекает что xn+yn дают не больше n(n+1)/2 различных остатков. Очевидно что таких m не меньше n2−(n+1)n/2=n(n−1)/2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.